Треугольник/4-угольник внутри выпуклой фигуры площади S

[neo66]

paha в сообщении #304616 писал(а):

Но ведь это математика, а не политический диспут.

Конечно, не диспут. Я вас не убедил и не собираюсь. Так, что вам придется доказать это самостоятельно. Или опровергнуть. Впрочем, мне это тоже перестало быть очевидным.

[ИСН]

DiviSer в сообщении #304709 писал(а):

То есть когда мы "достигнем" вторую прямую, то мы получим уже другой оптимальный парллелограмм.

Чёрт, да. Скорее всего там можно будет как-то (за счёт выпуклости фигуры) непрерывно проползти от одного до другого, чтобы в промежутке площадь была не меньше, а только больше, и заодно там же найти прямоугольник... но нет, полного решения не вижу.

[paha]

neo66 в сообщении #304714 писал(а):

Так, что вам придется

мне ничего не придется

Я всего лишь сказал, что у Вас отсутствуют соображения (исключая весомое

neo66 в сообщении #304495 писал(а):

По-моему ясно

), аргументирующие непрерывность.

(Оффтоп)

Представьте себе, что на дороге (края которой -- параллельные прямые на уровне моря) расположено два холма, причем если смотреть сбоку, один холм виден целиком и закрывает часть второго
Вы идете по дороге (двигаясь с постоянной скоростью вдоль дороги), впереди холмы и Ваша задача идти как можно выше над уровнем моря (т.е. на каждой из воображаемых линий пересечения дороги с плоскостью, перпендикулярной направлению дороги вы должны ступать в наивысшую точку).
Подойдя к холмам Вы пойдете по гряде ближайшего к Вам по градиенту высоты, дойдете до перевала, пойдете по гряде вниз и остановитесь, т.к. не сможете продолжать путь дальше оставаясь на самом высоком месте. Самое высокое место - в стороне от Вас, на гряде второго холма.

Вот контраргумент.
Могу привести пример функции на единичном квадрате $F:I^2\to\mathbb{R}$, для которой

$$ A_x=\{y\in I:F(x,y)=\max\{F(x,t):t\in I\}\} $$

несвязно (в некоторой точке), а множество $E=\{(x,y)\in I:y\in A_x\}$ выглядит так:

$$ E=\{(x,2/3):x\in[0;1/2]\}\cup \{(x,1/3):x\in[1/2;1]\} $$

Мыслите так, что отрезок на оси ОХ - это некоторый отрезок изменения углов прямых (на которых строятся параллелограммы), а вертикальный отрезок, проектирующийся в данную точку - множество параллелограммов со сторонами, параллельными данной прямой. Каждая точка $(x,y)$ отмеченного множества $E$ -- параллелограмм наибольшей площади со сторонами, параллельными прямой с углом $x$.

Аргумент принят? Ваше абстрактное соображение непрерывности он убивает

-- Ср мар 31, 2010 00:33:12 --

(Оффтоп)

paha в сообщении #304616 писал(а):

Представьте, что среди параллелограммов со сторонами, параллельными "соседней", есть параллелограмм бОльшей площади чем тот, с которого мы начали

DiviSer в сообщении #304709 писал(а):

Ваша идея понятна.. но если вдруг такая ситуация: данный параллелограмм будет оптимальной по прямой которая парллельна двум сторонам параллелограмма, но не по воторой прямой (которая парллельна остальным сторонам). в этом случае угол не переходит строго во второй соседний угол. То есть когда мы "достигнем" вторую прямую, то мы получим уже другой оптимальный парллелограмм.

-- Ср мар 31, 2010 00:38:43 --

neo66 в сообщении #304714 писал(а):

Впрочем, мне это тоже перестало быть очевидным.

ну вот и ладушки

[neo66]

DiviSer писал(а):

Верно ли такое утвеждение: каждая выпуклая фигура площади $1$ содержит прямоугольник площади $\frac 1 2$?

Это верно. Приведу идею доказательства.

Как уже было указано, у Прасолова приведен алгоритм, нахождения по любому направлению вписанного параллелограмма плщади не менее $\frac 1 2$. Будем непрерывно(используя этот алгоритм) менять направление, так, чтобы некоторая фиксированная сторона параллелограмма перешла в сторону, параллельную соседней. Можно (и нетрудно) убедиться, что эти два параллелограмма можно соединить семейством параллелограммов, содержащихся в нашей фигуре, непрерывно зависящем от некоторого действительного параметра. Причем площадь параллелограмма будет выпуклой вверх функцией от этого параметра (квадратичной). Из чего следует, что все параллелограммы из этого семейства будут иметь площадь не меньше $\frac 1 2$.
Таким образом, мы непрерывно перевели наш параллелограмм в себя, так, что некоторая вершина перешла в соседнюю. Из чего следует, что где-то "по дороге" наш параллелограмм превратился в прямоугольник.

[paha]

neo66 в сообщении #305562 писал(а):

Будем непрерывно(используя этот алгоритм) менять направление

Осталось показать, что отображение НАПРАВЛЕНИЕ->ВПИСАННЫЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, задаваемое описанным алгоритмом, непрерывно (что непрерывно меняя направление мы увидим как параллелограмм непрерывно меняется)

По всей видимости это верно. Но вот неочевидно.

neo66 в сообщении #305562 писал(а):

Причем площадь параллелограмма будет выпуклой вверх функцией от этого параметра (квадратичной)

Выпуклой - да... Хоть это и не принципиально, но неужели вот так просто можно увидеть параметр, по которому функция квадратична?

[neo66]

Цитата:

Выпуклой - да... Хоть это и не принципиально, но неужели вот так просто можно увидеть параметр, по которому функция квадратична?

Ну, смотрите, пусть $ABCD$ - наш параллелограмм, $A'B'C'D'$ - "повернутый", причем $AB$ параллельна $A'B'$. Пусть, для определенности, $A'B'>AB$. "Спроецируем" все это хозяйство на направление перпендикулярное $AB$. Наша фигура $F$ перейдет в $F'$. Наши параллелограммы перейдут в прямоугольники $PQRS$ и $P'Q'R'S'$ соответственно, вписанные в $F'$, причем с сохранением площади. Соединим вершины $Q$ и $Q'$ отрезком прямой и, аналогично, $R$ и $R'$. Возьмем на этом отрезке точку $Q(t)$ на расстоянии $t$ от вершины $Q$. 'Впишем' в фигуру $PQQ'R'RS$ прямоугольник $P(t)Q(t)R(t)S(t)$, стороны которого параллельны сторонам прямоугольника $PQRS$. Плошадь прямоугольника $P(t)Q(t)R(t)S(t)$ будет квадратичной функцией параметра $t$. "Поднимем" прямоугольник $P(t)Q(t)R(t)S(t)$ в фигуру $F$. Получим параллелограмм $A(t)B(t)C(t)D(t)$ той же площади. Семейство этих параллелограммов и будет нужным семейством, соединяющим прямоугольники $ABCD$ и $A'B'C'D'$.

[Профессор Снэйп]

DiviSer в сообщении #303619 писал(а):

Верно ли такое утвеждение (незнаю правильно или нет):
каждая выпуклая фигура площади S содежит треугольник площади (2/5)*S.

У окружности радиуса $1$ площадь равна $\pi$. А у равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность, площадь равна $3\sqrt{3}/8$, что значительно меньше $2\pi/5$

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #305876 писал(а):

У окружности радиуса $1$ площадь равна $\pi$. А у равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность, площадь равна $3\sqrt{3}/8$, что значительно меньше $2\pi/5$

$$_{\Delta}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

О да, обсчитался

[paha]

neo66 в сообщении #305872 писал(а):

Ну, смотрите, пусть $ABCD$

Даже не стал читать... сорри..(как говорит ИСН - one post - one thing)

paha в сообщении #305767 писал(а):

Осталось показать, что отображение НАПРАВЛЕНИЕ->ВПИСАННЫЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, задаваемое описанным алгоритмом, непрерывно (что непрерывно меняя направление мы увидим как параллелограмм непрерывно меняется)

По всей видимости это верно. Но вот неочевидно.

[neo66]

paha в сообщении #305936 писал(а):

Даже не стал читать... сорри..

No problem.

[paha]

neo66 в сообщении #305944 писал(а):

No problem.

я к тому, что квадратичность - фиг с ней... главное - выпуклость

а вот как быть с

paha в сообщении #305767 писал(а):

Осталось показать, что отображение НАПРАВЛЕНИЕ->ВПИСАННЫЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, задаваемое описанным алгоритмом, непрерывно (что непрерывно меняя направление мы увидим как параллелограмм непрерывно меняется)

По всей видимости это верно. Но вот неочевидно.

[neo66]

А вот с этим действительно фиг . Не вижу тут никаких принципиальных сложностей. Это чисто техническая вещь, просто неохота тут словеса разводить. Я думаю вы сможете сделать это и сами, если конечно, захотите. Если же вы знаете, что это неверно, пожалуйста, приведите пример.

[paha]

neo66 в сообщении #306280 писал(а):

Если же вы знаете, что это неверно, пожалуйста, приведите пример

Пусть топстартер доказывает!

DiviSer, Вам удалось доказать непрерывность?

[DiviSer]

paha в сообщении #306283 писал(а):

DiviSer, Вам удалось доказать непрерывность?

Непрерывность - нет. Вобщем вот что я хочу сказать: Если есть непрерывность, то судя по методу которую здесь предложили получаем что каждая фигура будет иметь четыре прямоугольника удовлетворящие условию . Но например, для тупоугольного треугольника такого прямоугольника сущесвтует только один. И вобще, если существует непрерывность , то верно тогда и такая теорема : Каждая выпуклая фигура содежрит внутри ромб половинной площади, которая мне кажется совсем неочевидной, нежели в случае с прмяоугольником (Хотя для треугольиков она верна).