Приведение матрицы к каноническому виду

[Alex1010]

Испытываю большие трудности с этим заданием. Нет ли каких-либо алгоритмов для этого (или рекомендаций)?
Например, мне дана матрица:
$\mathbf{X} =\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 1\\ 4 & 6 & 7\\ 1 & 5 & 3 \end{array}\right)\sim^1\left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 3\\ 4 & 6 & 7\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)\sim^2\left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 3\\ 1 & 4 & 6\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)\sim^3\left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 3\\ 0& -1 & 3\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)\sim^4\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3\\ 0& -1 & 3\\ 3 & -13 & 1 \end{array}\right)$
1) Меняю местами 3-ю и 1-ю строки.
2) Умножаю на -1 третью строку и складываю её со 2-й.
3) Умножаю 1-ю строку на -1 и складываю со 2-й
4) Умножаю на -5 первый столбец, складываю его со вторым
Что делать дальше — не знаю, пробовал, но ничего не получается.

[gris]

может быть найти собственные числа и собственные векторы?

[Padawan]

А что значит "привести к каноническому виду"? Нормальную форму Жордана найти?

[paha]

При таких преобразованиях от матрицы ничего не останется кроме определителя:)

Если вы хотите привести к жордановой (она же "каноническая") форме - ищите с.з. и с.в., как было сказано. И ни в коем случае ничего не умножайте и не складывайте. Характеристический многочлен равен $-x^3+12 x^2-x-47$, поэтому на красивые формулы не надейтесь:^)

Если же просто решаете с.л.у. методом Гаусса, то вычитайте из третьей строки три первых, а потом 13 вторых и получите
$\mathbf{X} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3\\ 0& -1 & 3\\ 0 &0& -47 \end{array}\right)$

[Alex1010]

Цитата:

ищите с.з. и с.в

Я немного запутался. У меня в учебнике сказано, что каноническая матрица — это та, у которой на главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны 0. То есть $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $. Также сказано, что любую матрицу можно привести к такому виду при помощи элементарных преобразований. Где подвох?

[ewert]

Alex1010 в сообщении #303493 писал(а):

Также сказано, что любую матрицу можно привести к такому виду при помощи элементарных преобразований.

Раз сказано именно это -- значит, имелось в виду не нахождение собственных чисел и векторов, а именно метод Гаусса. Под элементарными преобразованиями метода Гаусса понимаются:

- умножение строки на ненулевое число;
- прибавление к строке другой строки, умноженной на число;
- перестановка строк;
- аналогичные действия со столбцами.

[gris]

А тогда в чём проблемы-то?
На пятом шаге Вычитаем три раза первую строку из третьей. При этом портится единичка в третьем столбце, чего, вероятно, испугался осторожный автор. Да и пусть. Ах, дежапарль...

[paha]

ewert в сообщении #303494 писал(а):

Раз сказано именно это -- значит, имелось в виду не нахождение собственных чисел и векторов, а именно метод Гаусса. Под элементарными преобразованиями метода Гаусса понимаются:

- умножение строки на ненулевое число;
- прибавление к строке другой строки, умноженной на число;
- перестановка строк;
- аналогичные действия со столбцами.

Стоп! Метод Гаусса -- это метод решения с.л.у., поэтому столбцы трогать нельзя:^)

[Alex1010]

gris в сообщении #303509 писал(а):

А тогда в чём проблемы-то?

Проблемы в том, что все элементы, кроме $a_{11}, a_{22}, должны быть равны нулю.

[ewert]

paha в сообщении #303522 писал(а):

Стоп! Метод Гаусса -- это метод решения с.л.у., поэтому столбцы трогать нельзя:^)

Если нельзя, но очень хочется, то можно.

А что действительно нельзя, так это в общем случае получить буквально заказанную матрицу (диагональную с нулями и единицами на диагонали) с помощью только строковых операций (если исходная матрица вырождена).

-- Вс мар 28, 2010 12:53:44 --

Alex1010 в сообщении #303538 писал(а):

Проблемы в том, что все элементы, кроме $a_{11}, a_{22}, должны быть равны нулю.

Ну не в Вашем же примере -- у Вас ведь матрица вроде как невырожденна, поэтому на диагонали будут только единицы.

[paha]

Alex1010 в сообщении #303538 писал(а):

Проблемы в том, что все элементы, кроме $a_{11}, a_{22}, должны быть равны нулю.

Если матрица приводится к указанному Вами виду, то у нее должен быть нулевой определитель как минимум

-- Вс мар 28, 2010 12:56:10 --

ewert в сообщении #303543 писал(а):

Если нельзя, но очень хочется, то можно.

Не пишите так. А то изучающий метод Гаусса решения с.л.у. подумает, что и впрямь столбцы можно переставлять

[ewert]

paha в сообщении #303544 писал(а):

А то изучающий метод Гаусса решения с.л.у. подумает, что и впрямь столбцы можно переставлять

Хорошо, во избежание недоразумений добавлю.

Переставлять столбцы в методе Гаусса можно, но -- только вместе с обозначениями для переменных.

Желательно этого по возможности избегать. Но, с другой стороны, если это допустить, то логическая структура метода Гаусса становится проще (для вырожденных матриц).

[Alex1010]

paha в сообщении #303544 писал(а):

Если матрица приводится к указанному Вами виду, то у нее должен быть нулевой определитель как минимум

Получается, что учебник неточен?
Вот ещё пример:
$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 6\\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 19 \end{array} \right)$ После очевидных преобразований получается:
$\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$
Вопрос: как можно избавиться от единицы в $a_{33}$?

[gris]

"Несколько единиц на главной диагонали" не исключают случая "вся главная диагональ состоит из единиц.
Вы квадратные матрицы рассматриваете или все подряд?

[Alex1010]

Все.