2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 09:21 


28/03/10
15
Испытываю большие трудности с этим заданием. Нет ли каких-либо алгоритмов для этого (или рекомендаций)?
Например, мне дана матрица:
$\mathbf{X} =\left(\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1\\
4 & 6 & 7\\
1 & 5 & 3
\end{array}\right)\sim^1\left(\begin{array}{ccc}
1 & 5 & 3\\
4 & 6 & 7\\
3 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim^2\left(\begin{array}{ccc}
1 & 5 & 3\\
1 & 4 & 6\\
3 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim^3\left(\begin{array}{ccc}
1 & 5 & 3\\
0& -1 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{array}\right)\sim^4\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 3\\
0& -1 & 3\\
3 & -13 & 1
\end{array}\right)$
1) Меняю местами 3-ю и 1-ю строки.
2) Умножаю на -1 третью строку и складываю её со 2-й.
3) Умножаю 1-ю строку на -1 и складываю со 2-й
4) Умножаю на -5 первый столбец, складываю его со вторым
Что делать дальше — не знаю, пробовал, но ничего не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 09:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13012
может быть найти собственные числа и собственные векторы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 10:23 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
А что значит "привести к каноническому виду"? Нормальную форму Жордана найти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 10:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
При таких преобразованиях от матрицы ничего не останется кроме определителя:)

Если вы хотите привести к жордановой (она же "каноническая") форме - ищите с.з. и с.в., как было сказано. И ни в коем случае ничего не умножайте и не складывайте. Характеристический многочлен равен $-x^3+12 x^2-x-47$, поэтому на красивые формулы не надейтесь:^)

Если же просто решаете с.л.у. методом Гаусса, то вычитайте из третьей строки три первых, а потом 13 вторых и получите
$\mathbf{X} \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3\\ 0& -1 & 3\\ 0 &0& -47 \end{array}\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 11:37 


28/03/10
15
Цитата:
ищите с.з. и с.в

Я немного запутался. У меня в учебнике сказано, что каноническая матрица — это та, у которой на главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны 0. То есть $\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array} \right)
$. Также сказано, что любую матрицу можно привести к такому виду при помощи элементарных преобразований. Где подвох?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 11:41 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
Alex1010 в сообщении #303493 писал(а):
Также сказано, что любую матрицу можно привести к такому виду при помощи элементарных преобразований.

Раз сказано именно это -- значит, имелось в виду не нахождение собственных чисел и векторов, а именно метод Гаусса. Под элементарными преобразованиями метода Гаусса понимаются:

- умножение строки на ненулевое число;
- прибавление к строке другой строки, умноженной на число;
- перестановка строк;
- аналогичные действия со столбцами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13012
А тогда в чём проблемы-то?
На пятом шаге Вычитаем три раза первую строку из третьей. При этом портится единичка в третьем столбце, чего, вероятно, испугался осторожный автор. Да и пусть. Ах, дежапарль...

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
ewert в сообщении #303494 писал(а):
Раз сказано именно это -- значит, имелось в виду не нахождение собственных чисел и векторов, а именно метод Гаусса. Под элементарными преобразованиями метода Гаусса понимаются:

- умножение строки на ненулевое число;
- прибавление к строке другой строки, умноженной на число;
- перестановка строк;
- аналогичные действия со столбцами.


Стоп! Метод Гаусса -- это метод решения с.л.у., поэтому столбцы трогать нельзя:^)

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 12:43 


28/03/10
15
gris в сообщении #303509 писал(а):
А тогда в чём проблемы-то?

Проблемы в том, что все элементы, кроме $a_{11}, a_{22}, должны быть равны нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 12:51 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
paha в сообщении #303522 писал(а):
Стоп! Метод Гаусса -- это метод решения с.л.у., поэтому столбцы трогать нельзя:^)

Если нельзя, но очень хочется, то можно.

А что действительно нельзя, так это в общем случае получить буквально заказанную матрицу (диагональную с нулями и единицами на диагонали) с помощью только строковых операций (если исходная матрица вырождена).

-- Вс мар 28, 2010 12:53:44 --

Alex1010 в сообщении #303538 писал(а):
Проблемы в том, что все элементы, кроме $a_{11}, a_{22}, должны быть равны нулю.

Ну не в Вашем же примере -- у Вас ведь матрица вроде как невырожденна, поэтому на диагонали будут только единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Alex1010 в сообщении #303538 писал(а):
Проблемы в том, что все элементы, кроме $a_{11}, a_{22}, должны быть равны нулю.


Если матрица приводится к указанному Вами виду, то у нее должен быть нулевой определитель как минимум

-- Вс мар 28, 2010 12:56:10 --

ewert в сообщении #303543 писал(а):
Если нельзя, но очень хочется, то можно.


Не пишите так. А то изучающий метод Гаусса решения с.л.у. подумает, что и впрямь столбцы можно переставлять

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 13:16 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
paha в сообщении #303544 писал(а):
А то изучающий метод Гаусса решения с.л.у. подумает, что и впрямь столбцы можно переставлять

Хорошо, во избежание недоразумений добавлю.

Переставлять столбцы в методе Гаусса можно, но -- только вместе с обозначениями для переменных.

Желательно этого по возможности избегать. Но, с другой стороны, если это допустить, то логическая структура метода Гаусса становится проще (для вырожденных матриц).

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 13:47 


28/03/10
15
paha в сообщении #303544 писал(а):
Если матрица приводится к указанному Вами виду, то у нее должен быть нулевой определитель как минимум

Получается, что учебник неточен?
Вот ещё пример:
$\left( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 6\\
0 & 1 & -1 & 10 \\
0 & 0 & 1 & 19
\end{array} \right)$ После очевидных преобразований получается:
$\left( \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array} \right)$
Вопрос: как можно избавиться от единицы в $a_{33}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13012
"Несколько единиц на главной диагонали" не исключают случая "вся главная диагональ состоит из единиц.
Вы квадратные матрицы рассматриваете или все подряд?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приведение матрицы к каноническому виду
Сообщение28.03.2010, 13:58 


28/03/10
15
Все.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group