Обобщения правила Лопиталя

[fiona111]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, существуют ли многомерные обобщения правила Лопиталя? Т.е. предел отношения функций нескольких переменных, когда их аргументы стремятся к точке в многомерном пространстве?

[ewert]

Вообще говоря нет. В первом приближении любая функция линейна, т.е. задаётся умножением матрицы на вектор: $f(\vec x)=A\cdot\vec x$. И если теперь $g(\vec x)=B\cdot\vec x$, то по разными направлениям функции $f$ и $g$ стремятся к нулю с разными скоростями. Причём эти скорости никак не согласованы друг с дружкой. Поэтому предела по совокупности переменных просто не существует. А если не по совокупности, а по конкретному направлению -- то это уже никакие не многие переменные.