Теорема Лейбница и ряды

[Vova_Gidro]

Теорема Лейбница (по Фихтенгольцу).
Если члены знакопеременного ряда $c_1-c_2+c_3-...+(-1)^{n-1}c_n+...$ монотонно убывают по абсолютной величине:
$c_{n-1}<c_n, (n=1,2,3,...)$
и стремятся к нулю, то ряд сходится.

Сегодня на паре решали пример.
Пример. Используя теорему Лейбница доказать сходимость ряда $\sum(\frac{(-1)^{n-1}n^4}{2^n})$.
Для первых членов условие теоремы Лейбница не выполняется. У меня возник вопрос: как правильно ответить на условие задачи? И не следует ли немного уточнить условия теоремы словами "начиная с какого-то номера"?

[mitia87]

Это подразумевается. Если есть сходимость начиная с какого-то номера, т.е. сходимость остатка, то и ряд сходится.

[Профессор Снэйп]

Вместо

Vova_Gidro в сообщении #302626 писал(а):

Если члены знакопеременного ряда...

сказать "Если почти все члены знакопеременного ряда..." ("Почти все" означает "все, за исключением конечного числа". Кстати, очень удобная терминология. Например, последовательность сходится к $a$, если для любой окрестности точки $a$ почти все члены последовательности лежат в этой окрестности. И т. п.)

Можно ввести также понятие "почти знакопеременного ряда" (то есть такого ряда $\sum_{n=1}^\infty x_n$, что $\mathrm{sign}(x_n) = - \mathrm{sign}(x_{n+1})$ почти для всех $n$. И сказать: "Если почти все члены почти знакопеременного ряда..."

[ewert]

Можно всё. Но не нужно ничего. Нужно -- только "начиная с некоторого номера", как и было напомнено.