2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 неравенство на экспоненту
Сообщение25.03.2010, 14:34 


18/07/09
37
Saint-Petersburg
Вроде простое, но я над нам сильно зациклился :).
нужно доказать; что для положительных чисел $a_{j}$ выполняется неравенство.
$$
\exp\left(  \left(  \prod_{j=1}^{n} a_{j} \right)^{1/n} \right)-1 \leq  \left( \prod_{j=1}^{n} \left(\exp(a_{j}) -1 \right) \right)^{1/n} 
$$


раскладывая все в ряды да действительно можно увидеть истину в этом неравенстве, но не хочется этого делать..
Есть ли у этого неравенство простое решение ?


коментарии: для выпуклой функции $f:[0,\infty) \to [0, \infty) $ с $f(0)=0$ вообще говоря не всегда выполняется неравенство
$f(a_{1})...f(a_{n}) \geq (f( (a_{1}...a_{n})^{1/n} ) )^{n}$


этим свойством обладают финцкии $\{ Cx^{k} \}$ при положительных $C$ и как увидите $\exp(x)-1$ т.е. в каком-то смысле (не в обычном) функции $Cx^{k}$ приближают $\exp(x)-1$ таким образом что это неравенство сохраняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство на экспоненту
Сообщение25.03.2010, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Paata в сообщении #302221 писал(а):
$f(a_{1})...f(a_{n}) \geq (f( (a_{1}...a_{n})^{1/n} ) )^{n}$
Это неравенство можно переписать в виде
$g\left(\frac{b_1+\ldots+b_n}n\right)\le\frac{g(b_1)+\ldots+g(b_n)}n$,
где $g(x)=\log f(e^x)$, $b_\nu=\log a_\nu$. Возможно, поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство на экспоненту
Сообщение25.03.2010, 15:46 


18/07/09
37
Saint-Petersburg
Да действительно помогает и полностю решает эту задачу. Спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group