Таблица интегралов или упрощение трудностей

[vonkurt]

При взятии интеграла вида:

$$\int\dfrac{3 \ctg^{2}x}{\sin^{2}x}\ dx$$

(Оффтоп)

на самом деле-это лишь малая часть ОГРОМНОГО интеграла

Столкнулся со вполне ожидаемыми трудностями. Как то: дикая система подстановок с вычитаниями,прибавлениями единицы и т.п.
Затем здесь увидел готовое,практически решение,в виде таблицы.
Вопрос:
Можно взять интеграл указав в качестве решения этот табличный:

$$\int\dfrac{\ctg^{n}cx}{sin^{2}cx}\ dx=\dfrac{1}{c(n+1)}\ctg^{n+1}cx$$

и сослаться на него предварительно вынеся тройку за знак интеграла?

(Оффтоп)

Там всё прекрасно сократится и получим красивый $ \ctg^3$

Или выводить всё равно надо?

Подскажите ,пожалуйста.

[gris]

Извините, а разве Вам не бросилась в глаза производная котангенса?

[vonkurt]

Брал интегралы на работе. Инета и учебников не было под рукой.
И ведь не просто $\ctg$ ,а $\ctg^{2}$ Как с ним бороться?

(Оффтоп)

здесь он неправильно указан

[gris]

Взятие неопределённых интегралов требуют наблюдательности и сноровки.
Полезно приучаться видеть в выражении и функцию, и её производную.

$$\int \dfrac {3x^2+6x-7}{x^3+3x^2-7x+19}\,dx$$

$$\int \dfrac {\ln^6x}{x}\,dx$$

$$\int \dfrac {\ctg^2 x}{\sin^2 x}\,dx=\int-\ctg^2 x\cdot\left( \dfrac {-1}{\sin^2 x}\right)\,dx=...$$

[vonkurt]

$$3\int{-\ctg^{2}x\cdot\left(-\dfrac{1}{sin^{2}x}\right)}dx=$$

$d(-\dfrac{1}{sin^2x})=\ctg x\dx$;

$$-3\int{\ctg^{2}x d(\ctg x)=$$

$t=\ctg x$;$dx=dt$

$$=-3\dfrac{t^3}{3}$$

$$\int{\dfrac{3\ctg^{2}x}{sin^{2}x}=\ctg^{3}x$$

Так правильно?
Значит по таблице нельзя...

[gris]

Минус забыли и $C$. Можно и по таблице. Чем больше таблица, тем больше интегралов по ней можно. А ведь где-то есть Таблица. По ней вообще все интегралы можно.

Так Вы трудности упрощаете или простости утрудняете?

[AD]

(Оффтоп)

gris в сообщении #302237 писал(а):

А ведь где-то есть Таблица. По ней вообще все интегралы можно.

Платонизмом увлекаетесь?

[vonkurt]

gris в сообщении #302237 писал(а):

А ведь где-то есть Таблица. По ней вообще все интегралы можно.

+1.Улыбнуло Очень.

gris в сообщении #302237 писал(а):

Так Вы трудности упрощаете или простости утрудняете?

Второе
Спасибо,gris, подсказка была кстати.

[gris]

У меня беда даже с таблицей производных. Вот для того, чтобы точно определить производную котангенса, я вспомнил, что он есть косинус на синус, значит внизу синус квадрат. Котангенс убывает, значит минус. Так что я voncurtа понимаю. Иногда смотришь и не видишь. Впрочем, Он это и говорил. Тот Кто Знает Все Интегралы.
А таблица такая есть. Вот она:

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$

[vonkurt]

gris в сообщении #302244 писал(а):

А таблица такая есть. Вот она:

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$

А я представил Таблицу Всех Таблиц Некую абстрактно-астральную.
Оказалось она такая приземлённая

[bot]

gris в сообщении #302244 писал(а):

А таблица такая есть. Вот она:

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$

Ага, теперь для функций, имеющих буквенные обозначения, всё просто:

$$\int \tg x\,dx=\mbox{TG}(x)+C$$

[gris]

Цитата:

функцию $TG(x)=-\ln(|\cos x|)\,\,$иногда называют логарифмическим косинусом. Она обладает рядом полезных свойств и издавна используется в самых разнообразных математических приложениях.

[vonkurt]

gris в сообщении #302881 писал(а):

В "Таблицах неопределённых интегралов" М.Л Смолянского

gris в сообщении #302909 писал(а):

в справочнике Корн

Ух,ты!!! Таблицы целые есть!!! Нагуглил ...

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #302237 писал(а):

Так Вы трудности упрощаете или простости утрудняете?

у нас тут контрольная на днях была. Надо было решить, в частности, линейное дифф.уравнение первого порядка. Так вот один товарищ честно применил метод Бернулли, нашёл $v(x)$ и стал не менее честно искать дальше (цитирую по памяти):

$\displaystyle u(x)=\int{\sin x\,dx\over1+\cos^2x}={1\over2}\int{\sin 2x\,dx\over\cos x(1+\cos^2x)}=-{1\over4}\int{d\cos 2x\over\cos x(1+\cos^2x)}=$

$\displaystyle =\Bigg[\begin{matrix}\cos^2x=t \\ cos2x=2t-1\end{matrix}\Bigg]=-{1\over2}\int{dt\over\sqrt{t}(1+t)}=\Bigg[\begin{matrix}u={1\over\sqrt{t}},\quad dv={1\over1+t}dt, \\ du=-{1\over2\sqrt{t^3}}dt,\quad v=\ln|1+t|\end{matrix}\Bigg]=$

$\displaystyle =-{1\over2}\left({1\over\sqrt{t}}\,\ln|1+t|+{1\over2}\int{1\over\sqrt{t^3}}\,\ln|1+t|\,dt\right).$

Сделал ещё один какой-то шаг, и решение на этом затухло.
(В принципе-то я их понимаю: у них собственно интегрирование идёт в параллельном курсе лишь с некоторым опережением, и они ещё просто не успели к нему привыкнуть.)

[gris]

Синус двух икс он умеет заносить в дифференциал, а просто синус нет?
Обычно бывает наоборот.
Хотя от волнения чего только не случается.