2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение25.03.2010, 13:30 


17/10/09
347
Петрозаводск
При взятии интеграла вида: $$\int\dfrac{3 \ctg^{2}x}{\sin^{2}x}\ dx$$

(Оффтоп)

на самом деле-это лишь малая часть ОГРОМНОГО интеграла

Столкнулся со вполне ожидаемыми трудностями. Как то: дикая система подстановок с вычитаниями,прибавлениями единицы и т.п.
Затем здесь увидел готовое,практически решение,в виде таблицы.
Вопрос:
Можно взять интеграл указав в качестве решения этот табличный:$$\int\dfrac{\ctg^{n}cx}{sin^{2}cx}\ dx=\dfrac{1}{c(n+1)}\ctg^{n+1}cx$$ и сослаться на него предварительно вынеся тройку за знак интеграла?

(Оффтоп)

Там всё прекрасно сократится и получим красивый $ \ctg^3$

Или выводить всё равно надо?

Подскажите ,пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение25.03.2010, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Извините, а разве Вам не бросилась в глаза производная котангенса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение25.03.2010, 13:39 


17/10/09
347
Петрозаводск
Брал интегралы на работе. Инета и учебников не было под рукой.
И ведь не просто $\ctg$$\ctg^{2}$ Как с ним бороться?

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение25.03.2010, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Взятие неопределённых интегралов требуют наблюдательности и сноровки.
Полезно приучаться видеть в выражении и функцию, и её производную.
$$\int \dfrac {3x^2+6x-7}{x^3+3x^2-7x+19}\,dx$$
$$\int \dfrac {\ln^6x}{x}\,dx$$
$$\int \dfrac {\ctg^2 x}{\sin^2 x}\,dx=\int-\ctg^2 x\cdot\left( \dfrac {-1}{\sin^2 x}\right)\,dx=...$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение25.03.2010, 15:13 


17/10/09
347
Петрозаводск
$$3\int{-\ctg^{2}x\cdot\left(-\dfrac{1}{sin^{2}x}\right)}dx=$$
$d(-\dfrac{1}{sin^2x})=\ctg x\dx$;
$$-3\int{\ctg^{2}x d(\ctg x)=$$
$t=\ctg x$;$dx=dt$
$$=-3\dfrac{t^3}{3}$$
$$\int{\dfrac{3\ctg^{2}x}{sin^{2}x}=\ctg^{3}x$$
Так правильно?
Значит по таблице нельзя...

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение25.03.2010, 15:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Минус забыли и $C$. Можно и по таблице. Чем больше таблица, тем больше интегралов по ней можно. А ведь где-то есть Таблица. По ней вообще все интегралы можно.

Так Вы трудности упрощаете или простости утрудняете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение25.03.2010, 15:25 
Экс-модератор


17/06/06
5004

(Оффтоп)

gris в сообщении #302237 писал(а):
А ведь где-то есть Таблица. По ней вообще все интегралы можно.
Платонизмом увлекаетесь? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение25.03.2010, 15:28 


17/10/09
347
Петрозаводск
gris в сообщении #302237 писал(а):
А ведь где-то есть Таблица. По ней вообще все интегралы можно.

+1.Улыбнуло Очень.
gris в сообщении #302237 писал(а):
Так Вы трудности упрощаете или простости утрудняете?

Второе :D
Спасибо,gris, подсказка была кстати.

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение25.03.2010, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
У меня беда даже с таблицей производных. Вот для того, чтобы точно определить производную котангенса, я вспомнил, что он есть косинус на синус, значит внизу синус квадрат. Котангенс убывает, значит минус. Так что я voncurtа понимаю. Иногда смотришь и не видишь. Впрочем, Он это и говорил. Тот Кто Знает Все Интегралы.
А таблица такая есть. Вот она:$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение25.03.2010, 16:20 


17/10/09
347
Петрозаводск
gris в сообщении #302244 писал(а):
А таблица такая есть. Вот она:$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$

А я представил Таблицу Всех Таблиц :) Некую абстрактно-астральную.
Оказалось она такая приземлённая :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение26.03.2010, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5917
Новосибирск
gris в сообщении #302244 писал(а):
А таблица такая есть. Вот она:$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$

Ага, теперь для функций, имеющих буквенные обозначения, всё просто:
$$\int \tg x\,dx=\mbox{TG}(x)+C$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение26.03.2010, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Цитата:
функцию $TG(x)=-\ln(|\cos x|)\,\,$иногда называют логарифмическим косинусом. Она обладает рядом полезных свойств и издавна используется в самых разнообразных математических приложениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение26.03.2010, 22:48 


17/10/09
347
Петрозаводск
gris в сообщении #302881 писал(а):
В "Таблицах неопределённых интегралов" М.Л Смолянского

gris в сообщении #302909 писал(а):
в справочнике Корн

Ух,ты!!! Таблицы целые есть!!! Нагуглил ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение27.03.2010, 08:21 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

gris в сообщении #302237 писал(а):
Так Вы трудности упрощаете или простости утрудняете?

у нас тут контрольная на днях была. Надо было решить, в частности, линейное дифф.уравнение первого порядка. Так вот один товарищ честно применил метод Бернулли, нашёл $v(x)$ и стал не менее честно искать дальше (цитирую по памяти):

$\displaystyle u(x)=\int{\sin x\,dx\over1+\cos^2x}={1\over2}\int{\sin 2x\,dx\over\cos x(1+\cos^2x)}=-{1\over4}\int{d\cos 2x\over\cos x(1+\cos^2x)}=$

$\displaystyle =\Bigg[\begin{matrix}\cos^2x=t \\ cos2x=2t-1\end{matrix}\Bigg]=-{1\over2}\int{dt\over\sqrt{t}(1+t)}=\Bigg[\begin{matrix}u={1\over\sqrt{t}},\quad dv={1\over1+t}dt, \\ du=-{1\over2\sqrt{t^3}}dt,\quad v=\ln|1+t|\end{matrix}\Bigg]=$

$\displaystyle =-{1\over2}\left({1\over\sqrt{t}}\,\ln|1+t|+{1\over2}\int{1\over\sqrt{t^3}}\,\ln|1+t|\,dt\right).$

Сделал ещё один какой-то шаг, и решение на этом затухло.
(В принципе-то я их понимаю: у них собственно интегрирование идёт в параллельном курсе лишь с некоторым опережением, и они ещё просто не успели к нему привыкнуть.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Таблица интегралов или упрощение трудностей
Сообщение27.03.2010, 10:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Синус двух икс он умеет заносить в дифференциал, а просто синус нет?
Обычно бывает наоборот.
Хотя от волнения чего только не случается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group