Диффур первого порядка - проверьте решение

[Koftochka]

Здравствуйте, проверьте, пожалуйста, решение диффура, а то я с этими рядами еще не разобралась:


\[x^2y'+y=x+1\Rightarrow{y'}+\frac{y}{x^2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\Rightarrow e^{-\tfrac{1}{x}}y'+\frac{e^{-\tfrac{1}{x}}}{x^2}y=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)e^{-\frac{1}{x}}\Rightarrow\[

\[\Rightarrow \left(e^{-\tfrac{1}{x}}y\right)^\prime=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)e^{-\tfrac{1}{x}} \Rightarrow e^{-\tfrac{1}{x}}y=\int\!\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)e^{-\tfrac{1}{x}}\,dx=\[

\[=\int{e^{-\tfrac{1}{x}}\,d\!\left(-\frac{1}{x}\right)+\int\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}\,dx= C+e^{-\frac{1}{x}}+\int\frac{1}{x}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\!\left(-\frac{1}{x}}\right)^n{dx}=\[

\[= C+{e^{-\tfrac{1}{x}}+\int\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,x^{n+1}}\,dx=C+e^{-\tfrac{1}{x}}+\int\left(\frac{1}{x}+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\,x^{n+1}}\right)dx=\[

\[=C+e^{-\tfrac{1}{x}}+\ln|x|+\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\int\frac{dx}{x^{n+1}}=C+e^{-\tfrac{1}{x}}+\ln|x|+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n!\,n\,x^n}\Rightarrow\[

\[\Rightarrow{y}=1+\Bigl(C+\ln|x|\Bigl)\,e^{\tfrac{1}{x}}+e^\tfrac{1}{x}}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n!\,n\,x^n}.\[

Ответа в задачнике нет, поэтому и прошу проверить.

[Alexey1]

А если $x=0$?

[Koftochka]

А что тогда делать??

[Alexey1]

Как тогда Ваше уравнение будет выглядеть?

[Koftochka]

Так интегрирующий множитель же неопределен при $x=0$, другого же не может быть?

-- Ср мар 24, 2010 19:21:17 --

Так y=1? Это, наверное, какой-то особое решение.

[Alexey1]

Да, когда начинаете деление на $x$ необходимо сделать предположение, что $x\neq0$. Затем, рассмотреть случай $x=0$ отдельно.

[Koftochka]

Или мне надо рассмотреть два случая и соответственно записать ответ:

1) $x=0$ и 2) $x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ ??

-- Ср мар 24, 2010 19:34:45 --

А, вообще, мой ответ правильный при $x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ ?

[paha]

мне кажется, ответ лучше оставить в виде

$$ y(x)=1+(y_0-1)e^{(1/x-1/x_0)}+e^{1/x}\int\limits_{x_0}^x\left\frac{e^{-1/t}}{t}\,{\rm d}t $$

при $x_0\ne 0$ и $y=1,\,x=0$ -- особая траектория
так легко видеть как близкие траектории себя ведут, как $y$ на бесконечность уходит при $x\to 0$

[Alexey1]

Да вычисления все верные.