Неравенство для аналитической функции

[Padawan]

Пусть $f$ -- аналитическая функция в единичном круге, не имеющая нулей, и $|f|\leqslant 1$. Доказать, что

$$ \sup\limits_{|z|\leqslant 1/5}|f(z)|^2\leqslant\inf\limits_{|z|\leqslant 1/7}|f(z)| $$

[terminator-II]

небось опять лемма Шварца

[Padawan]

Неа, все проще Ой, я почему-то вспомнил про шварциан Куда уж проще, чем лемма Шварца. Но тут не она.

[terminator-II]

Заинтригован, обязательно выложите решение

[Padawan]

если $f(z)$ не имеет нулей в круге $D$, то $f(z)=e^{g(z)}=e^{u(z)+iv(z)}$, где функция $g=u+iv$ аналитична в $D$. Так как $|f|=e^u\leqslant 1$ в $D$, то $u\leqslant 0$. Так как функция $-u$ - неотрицательная гармоническая в круге функция, то она является интегралом Пуассона некоторой положительной меры $\mu$ на окружности.

$$-u(re^{i\theta})=\int\limits_{-\pi}^\pi P_r(\theta-t)\,d\mu(t),$$

где $P_r(t)$ - ядро Пуассона. Доказываемое неравенство следует из неравенства

$$2\inf\limits_\theta P_{1/5}(\theta)\geqslant \sup\limits_\theta P_{1/7} (\theta),$$

которое получается из неравенств Гарнака.