Подинтегральная функция для наклонного цилиндра

[Yurius]

Добрый день!
У меня просьба: помогите пожалуйста с составлением под-интегральной функции.
Задача: имеется наклонный резервуар, который постепенно заполняется жидкостью.
Нужен интеграл для вычисления объема в зависимости от уровня.
Я полагаю, что необходимо суммировать 3 интеграла.
1. Нижнее «копыто», середина, верхнее «копыто».
Для «копыта» интеграл есть. С серединой проблемы….

[ИСН]

Середина - это просто цилиндр. Проблемы должны могут быть как раз с копытами. Это если я Вас правильно понял по столь лаконичному изложению, что вряд ли. Поэтому уточните. Сосуд - наклонный круговой цилиндр? А дно какое?

[paha]

верхнего копыта не увидел:)

а объем наклонного цилиндра без копыт равен площади основания (площадь поверхности свободной жидкости) на высоту (от уровня жидкости до нижнего копыта вдоль вектора ускорения свободного падения $g$)

[Yurius]

Добрый день! Спасибо за ответы.
Цилиндр с плоскими днищами. Наклон менее 30 градусов к горизонту.
Обозначим (в проекции) 4 вершины получившегося прямоугольник
A<B<C<D (по вертикальной оси). АВ - длиная сторона.
Начинаем заполнять до т.В. Образуется нижнее копыто (или цил. отрезок). Интеграл я беру. Верхняя плоскость копыта имеет эллиптическую форму (половинку).
Заполняем дальше до т.С. Выше т.С до т.D также имеем копыто с нижней частью в форме половинки эллипса, но повернутой на 180, относительно нижнего копыта.
Меня интересует эта середина цилиндра.

[vvvv]

Установите цилиндр вертикально а " горизонт" (плоскость)
наклоните, тогда интегрировать будет просто

[Yurius]

Добрый день!
Можно-ли объем такой фигуры вычислить одним интегралом?
или необходимо брать двойной или тройной.
Понятно, что предел одного должен изменяться от -R до +R, другого от 0 до высоты фигуры.
Под интегралом площадь половинки эллипса или я ошибаюсь?

[AKM]

maxal в сообщении #107356 писал(а):

см. http://mathworld.wolfram.com/CylindricalWedge.html и рядом

[vvvv]

Нужно вычислить объем такого цилиндра, что можно сделать вообще без интегрирования.

[Yurius]

Добрый день!
Спасибо Всем за участие!
Мне все таки нужно выделить середину такого наклонного цилиндра.
Интегралы верхнего и нижнего копыта я беру.
Нужна зависимость объема середины в зависимости от увеличения ее толщины от 0 до В.
Получается сложная фигура.

[vvvv]

Ведь было сказано - поставьте цилиндр вертикально.
Подинтегральной функцией тогда будет уравнение плоскости, а областью интегрирования окружность (или ее часть).Что же тут сложного?

[ИСН]

Вы оба, по-моему, несёте какую-то фигню, причём разную.
Если известен объём копыта, то какие проблемы могут быть с серединой? Это цилиндр (к-рый тоже известен) минус два копыта. Не так?

[vvvv]

Yurius,вот пример, думаю разберетесь


Маткад почему-то вычислил ингтеграл неверно.Должно быть так.

А вообще, можно вычислять и без интегрирования - подумайте как

[ИСН]

У него не такой формы середина. У него более наклонный цилиндр.

[vvvv]

ИСН, Вы меня удивляете .... более наклонный ...???
Так наклоняете плоскость сколько угодно
Ну, будет такая картинка

Изменится нижний предел для х и все дела

[Yurius]

Добрый день всем!
Это понятно, что объем средней фигуры равен Vцил - 2*Vкопыта.
А как этот обьем изменяется от толщины этой фигуры, если толщину изменять от) до В.
Тройной интеграл я возьму.
А вот насчет просто интеграла у меня все-таки вопрос?
Можно ли взять функцию такой фигуры одним интегралом или нет?