Ряды. Сходимость.

[integral2009]

Правильно ли я сделал?)

Исследовать на сходимость
a)$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2k^2-2k+3}{1-2k+2k^2}$

Необходимый признак сходимости ряда

$$\lim\limits_{k\to +\infty}{a_k}=\lim\limits_{k\to +\infty}=\dfrac{2k^2-2k+3}{1-2k+2k^2}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{k^2(2-\dfrac 2 k + \dfrac 3 {k^2})}{k^2(\dfrac 1 {k^2} -\dfrac 2 k + 2)}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2-\dfrac 2 k + \dfrac 3 {k^2}}{\dfrac 1 {k^2} -\dfrac 2 k + 2}=1\neq 0$$

=> ряд расходится

б)

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{2^{2+k}+1}{3^{2+k}+2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{4\cdot 2^k+1}{9\cdot 3^k+2}$

$$\lim\limits_{k\to +\infty}{a_k}=\lim\limits_{k\to +\infty}{2^{2+k}}{3^{2+k}}=\dfrac{4}{9}\lim\limits_{k\to +\infty}(\dfrac{2}{3})^k=0$$

Необходимый признак выполнен

$$\lim\limits_{k\to +\infty}{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}}=\lim\limits_{k\to +\infty}\dfrac{2^{3+k}+1}{3^{3+k}+2}\cdot \dfrac {3^{2+k}+2}{2^{2+k}+1}=\lim\limits_{k\to +\infty}\dfrac{2^{2+k}(2+\dfrac{1}{2^{2+k}})}{3^{2+k}(3+\dfrac{2}{3^{2+k}})}\cdot \dfrac {3^{2+k}(1+\dfrac{2}{3^{k+2}})}{2^{2+k}(1+\dfrac{1}{2^{2+k}})}=\lim\limits_{k\to +\infty}\dfrac{2+\dfrac{1}{2^{2+k}}}{3+\dfrac{2}{3^{2+k}}}\cdot \dfrac {1+\dfrac{2}{3^{k+2}}}{1+\dfrac{1}{2^{2+k}}}=\dfrac{2}{3}<1$$

=> ряд сходится

в)$\sum\limits_{k=1}^{\infty}(\dfrac{2k^2+2}{4k^2+2})^k= \sum\limits_{k=1}^{\infty}(\dfrac{k^2+1}{2k^2+1})^k$

$\lim\limits_{k\to +\infty}{a_n}=\lim\limits_{k\to +\infty}(\dfrac{k^2+1}{2k^2+1})^k=\lim\limits_{k\to +\infty}(\dfrac{1}{2})^k=0$

Необходимый признак выполнен.

Признак Коши

$$\lim\limits_{k\to +\infty}{{a_k}^{1/k}}=\lim\limits_{k\to +\infty}\dfrac{k^2+1}{2k^2+1}= \lim\limits_{k\to +\infty}\dfrac{k^2(1+\dfrac{1}{k^2})}{k^2(2+\dfrac{1}{k^2})}= \lim\limits_{k\to +\infty}\dfrac{1+\dfrac{1}{k^2}}{2+\dfrac{1}{k^2}}=\dfrac{1}{2}<1$$

=> ряд сходится

[Alexey1]

integral2009 в сообщении #301642 писал(а):

$$\lim\limits_{k\to +\infty}{a_k}=\lim\limits_{k\to +\infty}{2^{2+k}}{3^{2+k}}=\dfrac{4}{9}\lim\limits_{k\to +\infty}(\dfrac{2}{3})^k=0$$

Вот только здесь что то Вы не так записали.

[integral2009]

Да, ясно, спасибо!!!