Человек, вписанный в n - мерный куб

[MMyaf]

Есть n - мерный куб, длина ребра которого равна 1 см. При каком мининмальном значении n
в этот куб может поместится человек размеры, которого 0.2 м * 0.2м * 1м.

[Руст]

Если $n=100^2+2*20^2=10800$ то легко поместит. Вроде это минимальное значение.

[Dan_Te]

А из каких соображений оно будет минимальным?

[Руст]

Диагональ человека равно $\sqrt{20^2+20^2+100^2}$ не должен превысить диагональ куба $\sqrt n $. Отсюда получается, что это минимальное возможное значение. То, что сюда человек входит проверяется ещё легче раскидывая одну сторону человека по диагонали первых 400 координат, другую по диагонали следующих 400 и длину по диагоналии 10000 координат.

[Аурелиано Буэндиа]

Руст писал(а):

Диагональ человека равно не должен превысить диагональ куба . Отсюда получается, что это минимальное возможное значение. То, что сюда человек входит проверяется ещё легче раскидывая одну сторону человека по диагонали первых 400 координат, другую по диагонали следующих 400 и длину по диагоналии 10000 координат

Да, это старая задачка. Я вспомнил еще одну. На мой взгляд забавную. В $n$-мерный куб со стороной $2$ вписывают $2^n$ шаров диаметра $1$. После этого вписывают еще один шар с центром в центре куба так, чтобы он касался соседних шаров. Все шары вписывают так, что они могут только касаться друг друга и стенок куба. Вопрос: при каком наименьшем $n$ центральный шар выйдет за границы куба?

[Руст]

Не совсем понятно сформулировали. Наверно речь идёт об упаковке шаров в 4 мерном пространстве, когда в центр точно входит ещё один шар. Это мне напомнило гипотезу Борсука в n мерном пространстве, которую введу как новую тему.

[Аурелиано Буэндиа]

Руст писал(а):

Не совсем понятно сформулировали.

Возможно. Я написал по памяти.

Руст писал(а):

Наверно речь идёт об упаковке шаров в 4 мерном пространстве, когда в центр точно входит ещё один шар. Это мне напомнило гипотезу Борсука в n мерном пространстве, которую введу как новую тему.

А! Понял. Нет, я не говорил, что центральный шар тоже диаметра $1$. Его нужно вписать так, чтобы он касался других шаров диаметра $1$. Его диаметр зависит от $n$. И найти такое $n$ при котором этот центральный шар выйдет за границы куба.

[Руст]

Сейчас понятно. Тогда радиус шара не меньше 1 (если понимать вылазит за границу то больше 1). Соответственно n=4 при строгом понимании n=5.

[Аурелиано Буэндиа]

Руст писал(а):

Тогда радиус шара не меньше 1 (если понимать вылазит за границу то больше 1). Соответственно n=4 при строгом понимании n=5.

Хм... неверно.

[Руст]

Ошибся. Центр центрального шара находится в точке (1,1,...,1) и радиус равен $r=\frac 12 \sqrt n -1/2$. Соответственно при n>6 его радиус больше 1 (размерность 6) касается наружной стенки, а при размерности 7 его радиус больше 1 вылазит за куб.

[Аурелиано Буэндиа]

Руст писал(а):

Центр центрального шара находится в точке (1,1,...,1) и радиус равен . Соответственно при n>6 его радиус больше 1 (размерность 6) касается наружной стенки, а при размерности 7 его радиус больше 1 вылазит за куб.

Ход правильный. Толлько я не понял почему у Вас $n=>6$?
Я решал так $\frac{1}{2}\sqrt{n}-\frac{1}{2}>1$
отсюда $n>9$

[Руст]

Опять ошибся из-за небрежности.