Развертывающаяся поверхность

[DukeNukem]

Здравствуйте!

Имеем: плоский листок бумаги, на нем начерчены параллельные отрезки от края до края, дано их направление. Форма листа дана - выпуклая фигура. После этого лист размещают в пространстве так, что его края - суть данная кривая. Лист можно свернуть, но нельзя образовывать ребра сгиба.
Надо: найти уравнения листа - развертывающейся поверхности (РП) и линий на листе (геодезических) после сворачивания.

Начнем с поверхности. Если РП задана в виде $z=z(x,y),$ то верно $z_{xx} z_{yy} = z_{xy}^2.$ Решения этого уравнения могут быть найдены путем исключения параметра $\alpha$ из системы $z=\alpha x+\phi(\alpha)y+$\psi(\alpha), 0=x+\phi'(\alpha)y+\psi'(\alpha). Если, наоборот, решение $z(x,y)$ уравнения дано, то $\phi(z_x)=z_y, \psi(z_x)=z-x z_x-y z_y.$
Удалось решить краевую задачу $z(x,0)=f(x), z(0,y)=g(y), f(0)=g(0)=0:$ тогда $z(x,y)=(ax+1)g(\frac{y}{ax+1})+(by+1)f(\frac{x}{by+1}).$

Надо решить краевую задачу

$z_{xx} z_{yy} = z_{xy}^2,$

$x=x_1(t_1), y=y_1(t_1), z=z_1(t_1), 0\leq t_1\leq T_1, $ $x=x_2(t_2), y=y_2(t_2), z=z_2(t_2), 0\leq t_2\leq T_2,$
использованные 6 функций дифференцируемы,
$x_1(0)=x_2(0)=0, y_1(0)=y_2(0)=0, z_1(0)=z_2(0)=0.$
Если выписать уравнения с $\phi, \psi$ для двух кривых, то получится СЛАУ 4 на 4 с неизвестными $\phi, \phi', \psi, \psi'.$ Ее можно решить, получим уравнения вида $\phi=P(\alpha,t_1,t_2), \phi'=Q(\alpha,t_1,t_2), \psi=R(\alpha,t_1,t_2), \psi'=S(\alpha,t_1,t_2).$ И что?