Решить функциональное уравнение: f(xy)+f(x+y)=f(x)f(y)+1

[daogiauvang]

Найти все функции $f: Q\to Q$ удовлетворяющие $ f(1) = 2$ и $f(xy)+f(x+y)=f(x)f(y)+1$, где $Q$ обозначает множество всех рациональных чисел.

Попытка решения: $f(0)=1$ Допустим что, $f(n-1)=n$ Легко докажем что, $f(n)=n+1$ где $n \in N$

[ewert]

daogiauvang в сообщении #299638 писал(а):

Лекго докажем что, $f(n)=n+1$ где $n \in N$

Это правда. Более того, это следует из $f(x+1)\equiv f(x)+1$, получающегося при подстановке $y=1$. Но тогда

$f\left({m\over n}\cdot n\right) + f\left({m\over n}+n\right)=f\left({m\over n}\right)\cdot f\left(n\right)+1$,

$f\left(m\right) + f\left({m\over n}\right)+n=f\left({m\over n}\right)\cdot(n+1)+1$.

Т.е. просто $f(x)\equiv x+1$.