Теория чисел, наверное.

[fraktal]

Доказать, что для любых нечетных $n $
$1^n+2^n+...+m^n$ кратно $1+2+...+m$
Пытался доказать с помощью индукции:
1) верно для $n=1$
2) учитывая, что тождество верно для $n=2k+1$, рассмотрим при $n=2k+3$ (след. нечетное n)
$$\frac {1^{2k+3}+2^{2k+3}+...+m^{2k+3}}{1+2+...+m}$$=$$$\frac {1^2 1^{2k+1}+2^2 2^{2k+1}+...+m^2 m^{2k+1}}{1+2+...+m}$
а вот дальше...

[gris]

Попробуйте индукцию не по степени, а по числу слагаемых.

[RIP]

Обозначим $S=1^n+\ldots+m^n$. Нужно доказать, что $2S$ делится на $m(m+1)$, т.е. одновременно на $m$ и $m+1$. Про $m+1$ я подскажу: $2S=(1^n+m^n)+(2^n+(m-1)^n)+\ldots+(m^n+1^n)$. Вспомните, как раскладывается $a^n+b^n$ на множители при нечётном $n$.