Мощность множества последовательностей

[vika1304]

как доказать, что множество всех счетных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума?
помогите пожалуйста

[PAV]

Можно доказать, что их:

а) не меньше континуума;

б) не больше континуума.

Решите сами хотя бы один из этих пунктов.

[vika1304]

я думаю так:
Каждой счетной последовательности натуральных чисел, можно поставить в соответствие некоторую дробь, не превосходящую числа 1. Например, последовательности Ai = {ai1, ai2, ai3, …, ain, …} можно поставить в соответствие десятичную дробь αi = 0,ai1ai2ai3…ain…. Тогда каждой последовательности натуральных чисел будет соответствовать некоторое число, лежащее на интервале [0, 1]. Множество всех счетных последовательностей натуральных чисел оказывается эквивалентным множеству точек этого отрезка, которое является несчетным и имеет мощность континуума. Поэтому мощность заданного множества равна мощности континуума.

[Maslov]

vika1304 в сообщении #299106 писал(а):

Тогда каждой последовательности натуральных чисел будет соответствовать некоторое число, лежащее на интервале [0, 1]. Множество всех счетных последовательностей натуральных чисел оказывается эквивалентным множеству точек этого отрезка

И где же здесь эквивалентность?

Как писал PAV, одним из вариантов является:

1. Доказать, что мощность множества последовательностей не больше мощности множества действительных чисел на интервале [0, 1]. Для этого можно, например, поставить в соответствие каждой последовательности натуральных чисел точку отрезка [0, 1], но так, чтобы разным последовательностям соответствовали разные точки.

2. Доказать, что мощность множества точек на отрезке [0, 1] не больше мощности множества последовательностей. Для этого можно, например, поставить в соответствие каждой точке отрезка некоторую последовательность, но так, чтобы разным точкам соответствовали разные последовательности.

[JMH]

А по простому нельзя? Например так: мощность множества всех счетных последовательностей = мощность множества всех подмножеств = 2^{\aleph_0}=\aleph_1.

[PAV]

JMH в сообщении #299141 писал(а):

мощность множества всех счетных последовательностей = мощность множества всех подмножеств

Почему это так?

-- Чт мар 18, 2010 20:46:39 --

vika1304
Вы знаете какие-нибудь стандартные утверждения о мощностях последовательностей, похожие на данную задачу?

[JMH]

Для первой части задачи:
Любое подмножество множества натуральных чисел либо конечно, либо счетно; поставим каждому подмножеству в соответствие множество последовательностей, состоящих из элементов указанного подмножества. Т.о. мощность множества последовательностей не меньше мощности множества всех подмножеств \mathbb{N}, т.е. \ge\aleph_1

[RIP]

Кстати, $2^{\aleph_0}$ и $\aleph_1$ --- это разные вещи (если не предполагать справедливость континуум-гипотезы).