Бесконечные кардинальные числа

[vika1304]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей.
если n, m - бесконечные кардинальные числа, то m*n=m+n=max{m;n}

[Padawan]

$m\cdot n$ не так просто, тут довольно продвинутая теория нужна. Про вполне упорядоченные множества и ординалы слыхали?

[RIP]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #299116 писал(а):

$m\cdot n$ не так просто

А разве для $\mathfrak m+\mathfrak n$ это "так просто"?

[Padawan]

(Оффтоп)

для $m+n$ ординалы тоже нужны, но только самые начальные сведения - достаточно проверить, что если в предельный ординал подставить вместо каждого элемента двойку, то получиться тот же самый ординал. Я подозреваю, что $m+n$ можно и без ординалов сделать

[Cave]

Можно сделать через $\mathfrak n = \mathfrak n \times \mathfrak n$ для бесконечного кардинала, а это в свою очередь доказывается через лемму Цорна. Но да, теория всё равно нужна.

[Профессор Снэйп]

Если $1 < \mathfrak{n} \leqslant \mathfrak{m} \geqslant \aleph_0$, то

$$ \mathfrak{m} \leqslant \mathfrak{m} + \mathfrak{n} \leqslant \mathfrak{m} + \mathfrak{m} = \mathfrak{m} \cdot 2 \leqslant \mathfrak{m} \cdot \mathfrak{n} \leqslant \mathfrak{m} \cdot \mathfrak{m} = \mathfrak{m}, $$

откуда всё следует (случаи $\mathfrak{n} = 0,1$ рассматриваются отдельно). Последнее равенство, да, эквивалентно аксиоме выбора.