Система матричных уравнений

[ellipse]

Пусть $F$ - поле. Нужно найти матрицы $I,J,K\in M_2(F) $, $\{E,I,J,K\}$ - линейно независимы, где $E $- единичная матрица и выполняются след условия:
$I^2=aE$, где $a\in F$
$J^2=E$
$IJ=K=-JI$

Вообще задача состоит в том, что нужно доказать, что алгебра обобщенных кватернионов $(a,1)$ над полем $F$ изоморфна $M_2(F)$

[Tigran]

Вы поставили весьма интересную задачу, однако существенных идей в плане решения дать пока не смогу. Непосредственно из заданных уравнений следует, что:
1.Все матрицы квадратные и имеют размер $n\cdot n$.
Для $n=1$ задача не имеет смысла, поэтому $n\geqslant 2$.
2.Искомыми величинами являются элементы матриц.
Общее число искомых величин есть $M=2\cdot n^2$
Условие $I\cdot I=a\cdot E$ дает нам $N1=n\cdot n$ уравнений (группа Г1)
Условие $J\cdot J=E$ дает нам $N2=n\cdot n$ уравнений (группа Г2)
Условие $I\cdot J=K=-1\cdot J\cdot I$ дает нам $N3=n\cdot n$ уравнений (группа Г3)
Условие линейной независимости всех матриц $c1\cdot I+c2\cdot J+c3\cdot E+c4\cdot K=0$ только если $c1=c2=c3=c4=0$ дает нам $N4=n\cdot n$ уравнений (группа Г4)
То есть в результате получаем систему из $N=N1+N2+N3+N4=4\cdot n^2$ с $M=2\cdot n^2$ неизвестными, то есть число уравнений вдвое больше числа неизвестных.
3.Из высказывания "число уравнений вдвое больше числа неизвестных" следует, что существует несколько вариантов начала решения задачи (полагаю, что их число равно числу всевозможных сочетаний из 4 различных элементов по 2), в силу чего не исключаю возможность возникновения задачи об определении оптимального начала.

Пока это все, что могу сказать по существу поставленной задачи.

Кстати, для случая $n=2$ я решение уже получил.