Можно заметить, что указанное условие эквивалентно тому, что морфизм

обратим.
Действительно, рассмотрев в качестве

единицу

, находим

, то есть

обратима справа. Осталось проверить, что обратимый справа мономорфизм является обратимым.
Названия: "изморфизм", "обратимый морфизм" и "обратимая стрелка" (означают одно и то же).