Всякое компактное топологическое пространство, счётно компактно.
Допустим, что это не так.
Рассмотрим топологическое пространство

, и в

выделем счётное подмножество

,

,
![$\[M = \{ {x_1},{x_2},...,{x_n}...\} \]$ $\[M = \{ {x_1},{x_2},...,{x_n}...\} \]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/f/8bf135eab25da5c37b33c6285a78d41c82.png)
в котором нет предельных точек. тогда построим следующее семейство замкнутых подмножеств
![$\[\Im = \{ {F_n}\} ,n \in \mathbb{N},{F_n} = [{M_n}]\]$ $\[\Im = \{ {F_n}\} ,n \in \mathbb{N},{F_n} = [{M_n}]\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/2/8c2b60096aade2cb23aca00b1769a83682.png)
и очевидно что семейство

имеет пустое пересечение.Допустим ,что это не так
![$ \[\bigcap\limits_{i = 1}^\infty {{F_i}} \ne \emptyset \]$ $ \[\bigcap\limits_{i = 1}^\infty {{F_i}} \ne \emptyset \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/c/6bc97f53f0bba4eaa9fda9e327cd673582.png)
, значит
![$\[p \in \bigcap\limits_{i = 1}^\infty {{F_i}} \]$ $\[p \in \bigcap\limits_{i = 1}^\infty {{F_i}} \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/3/6f335dc11478189ed371e85dad4e322f82.png)
, тогда
![$\[\forall {F_n}\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow {U_n}(p)\bigcap {{M_n} \ne \emptyset } \]$ $\[\forall {F_n}\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow {U_n}(p)\bigcap {{M_n} \ne \emptyset } \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/f/a0f40ab3bcf8c0678c94f66dcbb0111582.png)
, т.е окресность точки

содержит бесконечно много точек из

значит точка

-предельная для множества

, но это противоречит нашему предположению что в

нет предельных точек. Тогда семейство
![$\[\{ \Im \} \]$ $\[\{ \Im \} \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/2/7022b221b0d99595d69211c9f31d491d82.png)
является центрированым семейством, и оно имеет пустое пересечение
![$\[\bigcap\limits_{i = 1}^\infty {{F_i}} = \emptyset \]$ $\[\bigcap\limits_{i = 1}^\infty {{F_i}} = \emptyset \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/f/58f265603cc78758061a30c2648ed18982.png)
, тогда пространство

-некомпактное, но это противоречит условию теоремы!
Вопрос у меня возник, из каких соображений
![$\[\{ \Im \} \]$ $\[\{ \Im \} \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/2/7022b221b0d99595d69211c9f31d491d82.png)
, будет центрированым? разве
![$\[\bigcap\limits_{i = 1}^n {{F_i}} \ne \emptyset \]$ $\[\bigcap\limits_{i = 1}^n {{F_i}} \ne \emptyset \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/2/222464cdc9ad039cd43912aa9f87e6dd82.png)
?