2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 смена максимумов и минимумов
Сообщение13.03.2010, 23:30 


13/03/10
9
Есть функция $F(x,y)$, определенная при $x\ge 0$, $y\ge 0$. Верно ли равенство:
$$\max\limits_{x\ge 0} (\min\limits_{y\ge 0} (F(x,y))) = \min\limits_{y\ge 0} (\max\limits_{x\ge 0} (F(x,y)))$$
Извиняюсь, что не могу записать это тегом. Сам склоняюсь, что равенство верно, но не могу доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: смена максимумов и минимумов
Сообщение13.03.2010, 23:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Гляньте на функцию $F(x,y)=y$ (а заодно и на её кодирования, наведя мышку на формулу).

 Профиль  
                  
 
 Re: смена максимумов и минимумов
Сообщение13.03.2010, 23:36 


13/03/10
9
ewert в сообщении #297353 писал(а):
Гляньте на функцию $F(x,y)=y$ (а заодно и на её кодирования, наведя мышку на формулу).

Спасибо за метод кодирования. Но эта функция удовлетворяет равенству ...

 Профиль  
                  
 
 Re: смена максимумов и минимумов
Сообщение14.03.2010, 09:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Codegrammer123 в сообщении #297356 писал(а):
Но эта функция удовлетворяет равенству ...

Да, виноват, чего-то зазевался. Тем не менее -- утверждение, конечно, неверно. Например, возьмите $F(x,y)$, равную единице на прямой $x=y$ и нулю во всех остальных точках. Тогда $\max\limits_x\,\min\limits_y\,F(x,y)=0$, в то время как $\min\limits_y\,\max\limits_x\,F(x,y)=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: смена максимумов и минимумов
Сообщение14.03.2010, 10:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
а есть ли название для функций, у которых минимакс равен максимину? Типа "чистостратегическая"

 Профиль  
                  
 
 Re: смена максимумов и минимумов
Сообщение14.03.2010, 11:28 


13/03/10
9
ewert в сообщении #297402 писал(а):
Codegrammer123 в сообщении #297356 писал(а):
Но эта функция удовлетворяет равенству ...

Да, виноват, чего-то зазевался. Тем не менее -- утверждение, конечно, неверно. Например, возьмите $F(x,y)$, равную единице на прямой $x=y$ и нулю во всех остальных точках. Тогда $\max\limits_x\,\min\limits_y\,F(x,y)=0$, в то время как $\min\limits_y\,\max\limits_x\,F(x,y)=1$.

спасибо за ответ. Да, действительно, в общем случае ответ "нет". А как быть в случае непрерывной функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: смена максимумов и минимумов
Сообщение14.03.2010, 11:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Codegrammer123 в сообщении #297424 писал(а):
А как быть в случае непрерывной функции?

Ну размажьте как-нибудь эту функцию. Замените её на непрерывно спадающую в обе стороны от биссектрисы к пераллельным ей линиям до нуля, а дальше -- ноль. Ничего не изменится.

Или попросту возьмите что-нибудь типа $\dfrac{1}{1+(x-y)^2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: смена максимумов и минимумов
Сообщение14.03.2010, 11:50 


13/03/10
9
ewert в сообщении #297427 писал(а):
Ну размажьте как-нибудь эту функцию. Замените её на непрерывно спадающую в обе стороны от биссектрисы к пераллельным ей линиям до нуля, а дальше -- ноль. Ничего не изменится.

Спасибо за корректное объяснение. Тему можно закрывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: смена максимумов и минимумов
Сообщение15.03.2010, 04:00 
Аватара пользователя


14/01/10
252
gris в сообщении #297415 писал(а):
а есть ли название для функций, у которых минимакс равен максимину? Типа "чистостратегическая"


Существование седловой точки достойно отдельного термина?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group