2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда почти всюду
Сообщение12.03.2010, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Помогите пожалуйста разобраться с такой задачей.

Доказать, что ряд сходится почти всюду на отрезке $[0,1]$:
$\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}
{{{n^2}{{\left| {x - {r_n}} \right|}^{1/2}}}}} \]$, где $\[\left\{ {{r_n}} \right\}_{n = 1}^\infty \]
$ - рациональные числа на $[0,1]$.

Первое, что мне приходит в голову - что этот ряд вообще нигде не должен сходится. Ибо всегда можно выбрать подпоследовательность $\[\left\{ {{r_{{n_k}}}} \right\}\]
$, которая стремится (пусть к иррациональному числу) $x$ очень быстро, так, что $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}
{{{n^2}{{\left| {x - {r_n}} \right|}^{1/2}}}}}  \geqslant \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{1}
{{{n_k}^2{{\left| {x - {r_{{n_k}}}} \right|}^{1/2}}}}}  =  + \infty \]$

Где я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда почти всюду
Сообщение12.03.2010, 23:39 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Если $x$ - например, квадратичная иррациональность, то слишком быстро не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда почти всюду
Сообщение13.03.2010, 00:55 


02/07/08
322
Ошибаетесь в том, что может быть, что при любой перенумерации рациональных чисел при стремлении $r_{n_k}$ к $x$ последовательность $(n_k)$ растет так быстрее, чем $|x - r_{n_k}|^{\alpha}$ для некоторых подходящих нам $\alpha$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда почти всюду
Сообщение13.03.2010, 06:53 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
Воспользуйтесь теоремой Леви о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда почти всюду
Сообщение13.03.2010, 11:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Так, со своей ошибкой разобрался, спасибо.

Padawan
Теорема Леви о монотонной последовательности?
В нашем случае это вот что: $\[{f_m}\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^m {\frac{1}
{{{n^2}{{\left| {x - {r_n}} \right|}^{1/2}}}}} \]$, $\[f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \sum\limits_{n = 1}^m {\frac{1}
{{{n^2}{{\left| {x - {r_n}} \right|}^{1/2}}}}}  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}
{{{n^2}{{\left| {x - {r_n}} \right|}^{1/2}}}}} \]
$, $\[\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \int\limits_{\left[ {0,1} \right]} {{f_m}\left( x \right)d\mu }  = \int\limits_{\left[ {0,1} \right]} {f\left( x \right)d\mu } \]$, так?

Конечно, может это грубо (но сама идея важна):

$\[\int\limits_{\left[ {0,1} \right]} {\frac{1}
{{{n^2}{{\left| {x - {r_n}} \right|}^{1/2}}}}} d\mu  = \frac{2}
{{{n^2}}}\left( {\sqrt {{r_n}}  + \sqrt {1 - {r_n}} } \right)\]$

Тогда $\[\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \int\limits_{\left[ {0,1} \right]} {{f_m}\left( x \right)} d\mu  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{2\left( {\sqrt {{r_n}}  + \sqrt {1 - {r_n}} } \right)}}
{{{n^2}}}}  \leqslant 4\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}
{{{n^2}}}}  <  + \infty \]$

Тогда это означает, что $\[\int\limits_{\left[ {0,1} \right]} {f\left( x \right)d\mu } \]$ конечен. А значит и $\[{f\left( x \right)}\]$ конечна почти всюду, т.е. соответствующий ряд сходится почти всюду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда почти всюду
Сообщение13.03.2010, 13:36 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Да, всё так.
ShMaxG в сообщении #297165 писал(а):
$\[\int\limits_{\left[ {0,1} \right]} {f\left( x \right)d\mu } \]$ конечен почти всюду
Только вот тут "почти всюду" немножко неуместно :roll: :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда почти всюду
Сообщение13.03.2010, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Ух ты, еще и правильно оказалось, даже не ожидал.

Меня только смущает то, как я интеграл вычислил. Иксов-то никаких быть и не должно после интегрирования :)

Все поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда почти всюду
Сообщение13.03.2010, 15:50 
Экс-модератор


17/06/06
5004
А не важно, чему интеграл равен. :roll:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group