Минимальное/максимальное расстояние от точки к кривой

[vinchkovsky]

Здравствуйте.

Есть такой класс задач с анализа функций нескольких переменных: нужно найти минимальное (или максимальное) расстояние от точки $M(x_0, y_0)$ к кривой $\varphi(x, y) = 0$.

Например: максимальное расстояние от $M(4.5; 0)$ к $x^2 - 2y^2 - 1 = 0$.

Первое, что пришло на мысль - составить функцию квадрата расстояния и найти нужные значения. Не подошло из-за того, что функция не задана явно.

Буду благодарен за подсказку алгоритма поиска решений.

[ИСН]

Ну дак задайте явно, делов-то. Или параметрически. Или лучше так: проведите через эту точку прямую от балды, под углом $\alpha$, до пересечения - будет какое-то расстояние, а потом ищите минимум (максимум) по $\alpha$.

[vinchkovsky]

Спасибо за ответ.

Как задать параметрически? Для эллипса нашел такое:
эллипс
А как быть с гиперболой? Гиперболических синусов и т.п. не знаю и не хочу знать
Задать явно - это как? Единственное, что приходит в голову - формула Тейлора, но не использовать же ее тут.
Третий вариант - можно подробней? Не могу придумать, как найти точку пересечения с прямой и составить уравнение для минимизации, которое зависело бы только от угла.

Кстати, все функции у меня - гиперболы и параболы. Может, с этим что-то связано? Другие задачи, которые я решаю, очень просты; может быть, и тут есть какой-то более простой вариант?

[alekcey]

vinchkovsky в сообщении #296678 писал(а):

Здравствуйте.

Есть такой класс задач с анализа функций нескольких переменных: нужно найти минимальное (или максимальное) расстояние от точки $M(x_0, y_0)$ к кривой $\varphi(x, y) = 0$.

Например: максимальное расстояние от $M(4.5; 0)$ к $x^2 - 2y^2 - 1 = 0$.

Первое, что пришло на мысль - составить функцию квадрата расстояния и найти нужные значения. Не подошло из-за того, что функция не задана явно.

Буду благодарен за подсказку алгоритма поиска решений.

Максимальное – это вовсе непонятно, если гиперболы да параболы. А так звучит, как задача на условный экстремум (минимум). Функция цели равна расстоянию между точками при условии, что (x, y) удовлетворяет уравнению кривой… При однотипности задач, Вам надо будет только один раз разобраться с алгоритмом…

[vvvv]

Существует метод Лагранжа, с помощью которого такие задачи решаются. А максимального расстояния точки до гиперболы не существует.
Существует расстояние до каждой из ветвей гиперболы, среди которых есть большее.

[vinchkovsky]

alekcey, vvvv
спасибо, то, что надо.
Забыл, как это решать, вот и хотел искать общий экстремум от $z = (x - x_0)^2 + (y - f(x_0))^2$

Про параболу ошибся, там эллипсы.