2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство (Юнга)
Сообщение11.03.2010, 17:45 
Здравствуйте.
Я вот тут доказываю одно неравенство и прошу помощи. Собственно, доказать, что для любых положительных $x$, $y$ и для $p$, $q > 1$, таких что $\frac 1 p +\frac 1 q = 1$, следует:
$\frac{x^p}p + \frac{y^q}q \geqslant xy$
Могу представить левую часть в виде
$\frac{x^p}p + (1-\frac 1 p)*y^{\frac 1 {1-\frac 1 p}}$
, но пока это ничего не дает.
Может, стоит поискать пределы при фиксированных $p$ и $q$, а $x$, $y$ устремить к бесконечности?

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение11.03.2010, 17:59 
Это неравенство Юнга: Young's_inequality.
Хотя если вы его доказываете в качестве упражнения, то смысла сразу лезть в решение нет.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение11.03.2010, 18:10 
Да, я именно как упражнение. Нам говорили, что оно где-то как-то сложно доказывается, но я хочу сама и попроще :)

А можно как-нибудь доказать, что $\ln(px+qy) \geqslant p\ln x + q\ln y$?

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение11.03.2010, 19:03 
Например, если Вы знаете, что функция $y=x^{\alpha}-ax$ при ($\alpha>1$ и $a>0$) достигает своего наименьшего значения в точке $x_0=(\frac{a}{\alpha})^{\frac{1}{\alpha-1}}$,
а само это наименьшее значение равно $y_0=(1-\alpha)(\frac{a}{\alpha})^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$,
то тогда
1) останется только положить $\alpha=p$ и $a=py$, чтобы после несложных преобразований получить Ваше неравенство.
2) А также показать, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x^p=y^q$

Естественно, везде просто придется заменить выражение $\frac{p-1}{p}$ на $\frac{1}{q}$

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение11.03.2010, 19:57 
Sasha2, так вроде получается, единственное, что меня смущает в доказательстве, это то, что в функции $y=x^{\alpha}-ax$ $a$ - константа (или параметр) и не зависит от $y$. А дальше мы даем ему значение, зависящее от $y$. Так можно делать? Главное, чтобы это $a$ было положительно?
И еще:
Sasha2 в сообщении #296647 писал(а):
А также показать, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x^p=y^q$

Почему? Я подставляла другие значения, произвольные, и неравенство выполнялось.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение11.03.2010, 22:12 
Первое (то которое я написал) неравенство выполняется при всех тех условиях, о которых указано выше ($\alpha>1$ и $a>0$). Когда Вы заменяете эти два параетра на свои (то неравенство, которое написали Вы), они все также продолжают оставаться одно больше 1, а другое больше 0, а значит Вы нисколько не компроментируете это неравенство.

Что касаемо выполнения неравенства, то да, конечно оно юудет выполняться. Речь идет о случае, когда данное (Ваше) неравенство переходит в равенство и это как раз тот случай, который я указал (ну на самом деле не я, а гораздо раньше меня указали другие, которые еще и гораздо умнее меня).

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение12.03.2010, 09:16 
Kafari в сообщении #296626 писал(а):
и попроще

Переобозначениями сводим к неравенству $u+v\geqslant(pu)^{1\over p}\cdot(qv)^{1\over q}$ для любых положительных $u$ и $v$. Далее, после естественной замены $\dfrac{u}{u+v}=t$ приходим к неравенству $1\geqslant p^{1\over p}q^{1\over q}\cdot t^{1\over p}(1-t)^{1\over q}$ для $t\in(0;1)$.
Ну, последнее достаточно очевидно -- единственная точка максимума правой части $t_0=\dfrac{1}{p}$ легко находится.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение12.03.2010, 09:49 
Аватара пользователя
Kafari в сообщении #296616 писал(а):
$\frac{x^p}p + \frac{y^q}q \geqslant xy$

Считайте, что $p, q$ рациональные. Тогда это чуть замаскированное неравенство между средними арифметическим и геометрическим.

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение12.03.2010, 10:15 
Оно кстати не заувалировано нисколько, а именно и есть такое:

Если написать неравенство AM-GM в самом общем виде, как
$p_1x_1+p_2x_2+...p_nx_n \ge (x_1^{p_1}x_2^{p_2}...x_n^{p_n})^{\frac{1}{p_1+p_2+...+p_n}}$

 
 
 
 Re: Неравенство
Сообщение13.03.2010, 23:01 
Sasha2 в сообщении #296766 писал(а):
неравенство переходит в равенство

Ага, разобралась, спасибо.
ewert,
так тоже можно, спасибо за идею.

А неравенство про среднее арифметическое и среднее геометрическое я знаю только для квадратов... Если его использовать, то тоже доказывать придется.

 
 
 
 
Сообщение14.03.2010, 00:44 
Kafari в сообщении #297347 писал(а):
А неравенство про среднее арифметическое и среднее геометрическое я знаю только для квадратов... Если его использовать, то тоже доказывать придется.

Оно немедленно следует из вогнутости функции $\ln$.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group