2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство (Юнга)
Сообщение11.03.2010, 17:45 


26/12/09
104
Москва
Здравствуйте.
Я вот тут доказываю одно неравенство и прошу помощи. Собственно, доказать, что для любых положительных $x$, $y$ и для $p$, $q > 1$, таких что $\frac 1 p +\frac 1 q = 1$, следует:
$\frac{x^p}p + \frac{y^q}q \geqslant xy$
Могу представить левую часть в виде
$\frac{x^p}p + (1-\frac 1 p)*y^{\frac 1 {1-\frac 1 p}}$
, но пока это ничего не дает.
Может, стоит поискать пределы при фиксированных $p$ и $q$, а $x$, $y$ устремить к бесконечности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение11.03.2010, 17:59 


02/07/08
322
Это неравенство Юнга: Young's_inequality.
Хотя если вы его доказываете в качестве упражнения, то смысла сразу лезть в решение нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение11.03.2010, 18:10 


26/12/09
104
Москва
Да, я именно как упражнение. Нам говорили, что оно где-то как-то сложно доказывается, но я хочу сама и попроще :)

А можно как-нибудь доказать, что $\ln(px+qy) \geqslant p\ln x + q\ln y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение11.03.2010, 19:03 


21/06/06
1721
Например, если Вы знаете, что функция $y=x^{\alpha}-ax$ при ($\alpha>1$ и $a>0$) достигает своего наименьшего значения в точке $x_0=(\frac{a}{\alpha})^{\frac{1}{\alpha-1}}$,
а само это наименьшее значение равно $y_0=(1-\alpha)(\frac{a}{\alpha})^{\frac{\alpha}{\alpha-1}}$,
то тогда
1) останется только положить $\alpha=p$ и $a=py$, чтобы после несложных преобразований получить Ваше неравенство.
2) А также показать, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x^p=y^q$

Естественно, везде просто придется заменить выражение $\frac{p-1}{p}$ на $\frac{1}{q}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение11.03.2010, 19:57 


26/12/09
104
Москва
Sasha2, так вроде получается, единственное, что меня смущает в доказательстве, это то, что в функции $y=x^{\alpha}-ax$ $a$ - константа (или параметр) и не зависит от $y$. А дальше мы даем ему значение, зависящее от $y$. Так можно делать? Главное, чтобы это $a$ было положительно?
И еще:
Sasha2 в сообщении #296647 писал(а):
А также показать, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x^p=y^q$

Почему? Я подставляла другие значения, произвольные, и неравенство выполнялось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение11.03.2010, 22:12 


21/06/06
1721
Первое (то которое я написал) неравенство выполняется при всех тех условиях, о которых указано выше ($\alpha>1$ и $a>0$). Когда Вы заменяете эти два параетра на свои (то неравенство, которое написали Вы), они все также продолжают оставаться одно больше 1, а другое больше 0, а значит Вы нисколько не компроментируете это неравенство.

Что касаемо выполнения неравенства, то да, конечно оно юудет выполняться. Речь идет о случае, когда данное (Ваше) неравенство переходит в равенство и это как раз тот случай, который я указал (ну на самом деле не я, а гораздо раньше меня указали другие, которые еще и гораздо умнее меня).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение12.03.2010, 09:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Kafari в сообщении #296626 писал(а):
и попроще

Переобозначениями сводим к неравенству $u+v\geqslant(pu)^{1\over p}\cdot(qv)^{1\over q}$ для любых положительных $u$ и $v$. Далее, после естественной замены $\dfrac{u}{u+v}=t$ приходим к неравенству $1\geqslant p^{1\over p}q^{1\over q}\cdot t^{1\over p}(1-t)^{1\over q}$ для $t\in(0;1)$.
Ну, последнее достаточно очевидно -- единственная точка максимума правой части $t_0=\dfrac{1}{p}$ легко находится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение12.03.2010, 09:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5439
Нов-ск
Kafari в сообщении #296616 писал(а):
$\frac{x^p}p + \frac{y^q}q \geqslant xy$

Считайте, что $p, q$ рациональные. Тогда это чуть замаскированное неравенство между средними арифметическим и геометрическим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение12.03.2010, 10:15 


21/06/06
1721
Оно кстати не заувалировано нисколько, а именно и есть такое:

Если написать неравенство AM-GM в самом общем виде, как
$p_1x_1+p_2x_2+...p_nx_n \ge (x_1^{p_1}x_2^{p_2}...x_n^{p_n})^{\frac{1}{p_1+p_2+...+p_n}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство
Сообщение13.03.2010, 23:01 


26/12/09
104
Москва
Sasha2 в сообщении #296766 писал(а):
неравенство переходит в равенство

Ага, разобралась, спасибо.
ewert,
так тоже можно, спасибо за идею.

А неравенство про среднее арифметическое и среднее геометрическое я знаю только для квадратов... Если его использовать, то тоже доказывать придется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2010, 00:44 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Kafari в сообщении #297347 писал(а):
А неравенство про среднее арифметическое и среднее геометрическое я знаю только для квадратов... Если его использовать, то тоже доказывать придется.

Оно немедленно следует из вогнутости функции $\ln$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group