Кратный ряд как решение дифференциального уравнения

[frankusef]

Добрый вечер!Недавно меня заинтересовала одна задача. Пусть имеем кратный ряд

$$I(x,y,z)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\sum_{j=-\infty}^{+\infty}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{i(ix^i+jy^i+kz^i)}.$$

Легко проверить, что данная сумма удовлетворяет дифференциальному уравнению

$$x\frac{dI(x,y,z)}{dx}+y\frac{dI(x,y,z)}{dy}+z\frac{dI(x,y,z)}{dz}=-I(x,y,z).$$

Так вот, мне бы хотелось знать, как решить данное дифференциальное уравнение и найти все решения данного уравнения не прибегая к данному ряду, то есть можно ли найти явный вид ряда $I(x,y,z)?$

[ИСН]

Между минус и плюс бесконечностью иногда можно встретить ноль. Ноль в знаменателе грозит бедой. Мойте дроби перед едой.
Объяснитесь.

[frankusef]

Объясняюсь $i\not = 0 $

[Mikhail Sokolov]

Это дифференциальное уравнение для однородных функций порядка -1. Решение есть, например, в книге Камке (1966).

[ИСН]

В таком случае ряд по j и k расходится по типу гармонического, и даже если на это наплевать - формально не удовлетворяет диффуру.
А диффур известный, см. то, что Mikhail Sokolov сказал. Решение простое.

[frankusef]

Прошу прощения! Перепутал ряды. Вот истинный ряд

$$I_n(x,y,z)={\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\sum_{j=-\infty}^{+\infty}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}}_{i,j,k\not=0}\frac{1}{i^nx+j^ny+k^nz}.$$

Диффур будет тот же

$$x\frac{dI(x,y,z)}{dx}+y\frac{dI(x,y,z)}{dy}+z\frac{dI(x,y,z)}{dz}=-I(x,y,z).$$

За справочник спасибо! Смотрел.

[Padawan]

$u=\dfrac{1}{z} f\left( \dfrac xy,\dfrac yz\right )$ и без всякого справочника. Это ж квазилинейное первого порядка, сводится к ОДУ, см. Эльсгольц "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление".

[frankusef]

Не очень силен в дифференциальных уравнениях, но все равно спасибо!