Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

[NickSevrinn]

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста понять смысл разделения переменных. Сам метод понятен, т.к. простой, но из-за чего его можно применять не совсем понимаю. В большинстве книг встречаю фразу, что для решения уравнения

$$\frac{dy}{dx}=\phi(y)\psi(x)$$

$\phi(y)$ переносим в левую часть, а дифференциал dx - в правую, затем интегрируем обе части.

Но ведь слева интеграл берется по переменной y, справа - по x (почему можно выполнять такую операцию? Обычно выполняется "однородная" операция для обеих частей уравнения - наример диффер. по x). Собственно эта часть и непонятна.
И еще, почему эти дифференциалы вообще разделяют? Ведь смысл записи

$$\int{f(x)dx}$$

в том, что это сумма произведений малого dx и f(x) в каждой точке интервала интегрирования, эта запись и сохранилась для неопреденных интегралов (как я понимаю, здесь дифференциал используется просто для обозначения переменной, по которой идет интегрирование - ищется первообразная).
Буду благодарен за любой подробный ответ. Пожалуйста не бросайте ссылки на определения дифференциалов. Я знаю, что это такое, но связать все вместе не могу .
Может есть книги по решению ДУ "для чайников", где до мелочей объясняется каждое действие, как у фейнмана по физике? Чтобы начать самостоятельно, а дальше я думаю будет легче.
Большое спасибо за ответы

[ShMaxG]

Интегрируем по разным переменным, да... Тут, я думаю, надо обратиться к понятию решения диффура. Понимать решение как параметрическое некого общего параметра $t$: $(x(t),y(t))$. Решение удовлетворяет уравнению с разделенными переменными, подставляем туда его и получаем функции и дифференциалы только от $t$. А это интегрировать, как Вы сказали, однородно - умеем. Ну а потом остается сделать обратный переход и получим то же самое, как если бы формально проинтегрировали по разным переменным.

[ewert]

NickSevrinn в сообщении #295975 писал(а):

Ведь смысл записи в том, что это сумма произведений малого dx и f(x) в каждой точке интервала

Вот именно. И неформально смысл того фокуса как раз в том и состоит, что мы складываем бесконечно малые приращения слева -- и соответствующие им приращения справа.

А формально так:

$${dy\over dx}=f(x)\cdot g(y)\quad\Leftrightarrow\quad\int{1\over g(y(x))}\cdot y'(x)\,dx=\int f(x)\,dx\quad\Leftrightarrow\quad\int{dy\over g(y)}=\int f(x)\,dx.$$

Просто замена переменных в неопределённом интеграле, и ничего личного.

(равносильно, естественно, с точноcтью до возможного деления на ноль -- в этот момент могут быть потеряны решения-константы)