задача о перестановке ряда

[dzh0rdzh1]

Уважаемые участники форума! Не получается доказать (либо опровергнуть) следующее утверждение:
если \sum^\infty_{n=1} x_n - сходящийся ряд действительных чисел, \sigma : \mathcal{N}\rightarrow \mathcal{N} - биекция множества натуральных чисел на себя, такая, что (\sup_{m\geq n} |x_m|)\cdot|\sigma(n)-n|\rightarrow 0, n\to\infty,
то ряд \sum^\infty_{n=1} x_{\sigma(n)} сходится к той же сумме, что и исходный.
Подскажите, пожалуйста, что тут можно сделать.
P.S. умею доказывать это при более сильном условии \sup_{n\geq 1} |\sigma(n)-n|<\infty.

[Хорхе]

Мне кажется, что при этом условии переставленный ряд может даже расходиться. Над примером думаю.

[RIP]

Если пример ещё интересен, то. Возьмём посл-ть $x_n=\frac{(-1)^n}{n\ln(n+1)}$. Определим подстановку следующим образом. Положим $\sigma(2^n)=2n-1$ при $n=1,2,\ldots$. Если занумеровать элементы множества $\mathbb N\setminus\{2^n\mid n\in\mathbb N\}$ в порядке возрастания: $a_1<a_2<\ldots$, то кладём $\sigma(a_n)=2n$. Тогда $\sigma(n)\le2n$, так что $|\sigma(n)-n|\max_{m\ge n}|x_m|=O((\ln n)^{-1})$, но $\sum_{2^N<n\le2^{2N}}x_{\sigma(n)}\to\ln\sqrt2$ при $N\to\infty$, так что ряд расходится (к $+\infty$).

[dzh0rdzh1]

Возникла еще одна проблема. Пусть $(x_n)$ - последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю и такая, что $\sum^\infty_{n=1} x_n = \infty.$ Утверждается, что для всякого положительного $d$ существует перестановка $\sigma$ натуральных чисел, для которой $\sum^\infty_{n=1} (x_n-x_{\sigma(n)})=d.$ Не получается это доказать. Я рассматриваю ряд $x_p+(-x_p)+x_{p+1}+(-x_{p+1})+\ldots,$ несколько первых отрицательных членов меняю на меньшие по модулю отрицательные члены, но возникает проблема, как потом правильно "разбросать" отобранные члены, чтобы не сильно изменить сумму ряда. Огромное спасибо RIP'у за приведенный пример (вместе с извинениями за задержку )