Исследование задачи Коши (Филиппов, №234)

[dasalam]

Не знаю как подойти к задаче из Филиппова №234. Условие:
При каких n уравнение $y^(n) = f(x, y, y^{'}, ..., y^{(n-1)})$ с непрерывно дифференцируемой функцией f может иметь среди своих решений две функции: $y_{1} = x, y_{2} = sin x$

[12d3]

Возьмите определенное $n$ (например, 2) и исследуйте задачу Коши в точке $x=0$. Потом возьмите $n=3$, и т.д.

[Someone]

А что следует из теоремы Пикара для уравнения $y^{(n)}=f(x, y, y', ..., y^{(n-1)})$ с непрерывно дифференцируемой функцией $f(x, y, y', ..., y^{(n-1)})$ при $n=1$? Может ли быть $n=1$, если обе функции $x$ и $\sin x$ являются решениями?
Тот же вопрос - для $n=2$.
Потом - для $n=3$.

[mitia87]

Найдите первый номер $n$, для которого $y_1^{(n)}(0) \neq y_2^{(n)}(0)$ и воспользуйтесь теоремой об однозначной разрешимости задачи Коши.

[ewert]

Это в одну сторону. А в другую -- полезно ещё показать на примере, что все не запрещённые явно $n$ действительно допустимы.

[Padawan]

Может и при $n=1$, если решение рассматривается на промежутке, не содержащем нуля

[ewert]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #295842 писал(а):

Может и при $n=1$, если решение рассматривается на промежутке, не содержащем нуля

Архипова сюда! Тем более что:

Prorab в сообщении #268645 писал(а):

Архипов,
2 месяца на осознание того, что на этом форуме запрещено выкладывать решения учебных задач.

-- срок он уж давно отсидел.