"Матрица матриц"

[zodiac]

Возможны ли и используются ли матрицы, элементами которых являются матрицы?
Поясню на примере:
"Multiple Layers of Neurons uses layer weight (LW) matrices as well as input weight (IW) matrices."

Или как иначе понимать запись $lw_{1,1}^{3,2}$, кроме как "элемент 1,1 из матрицы, которая является элементом 3,2 матрицы lw"?

Так же wolfram mathematica не ругается на это:

In:= m = {{{a, b}, {a, b}}, {{c, d}, {c, d}}}
Out= {{{a, b}, {a, b}}, {{c, d}, {c, d}}}

И на $MatrixForm[m]$ выводит:

[meduza]

zodiac в сообщении #295675 писал(а):

Возможны ли и используются ли матрицы, элементами которых являются матрицы?

Блочные матрицы. Введение можете посмотреть в Канатников, Крищенко -- "Аналитическая геометрия".

[Quasus]

Частный случай тензора?

[zodiac]

Да, действительно. Тензор более подходит.

// 09.03.10 перемещено из «Математика (общие вопросы)» в «Помогите решить / разобраться (М)» / GAA

[MGM]

zodiac в сообщении #295980 писал(а):

Да, действительно. Тензор более подходит.

Я бы не сказал.
Матрица матриц в этом случае более наглядное название.
Тензор достаточно общее понятие.
В проективной геометрии большенство тензоров и вообще определены на трёхмерном дискретном пространстве. То есть кубическая матрица.

[AD]

Никто не запрещает рассматривать матрицы над произвольными кольцами (т.е. с элементами из ...). Для матриц над коммутативными ассоциативными кольцами с единицей (в частности, для матриц над кольцом матриц) есть даже теорема Гамильтона-Кэли

[Padawan]

AD в сообщении #296312 писал(а):

Для матриц над коммутативными ассоциативными кольцами с единицей (в частности, для матриц над кольцом матриц) ...

А кольцо матриц же не коммутативно

[AD]

Ой, правда

[Padawan]

Еще есть такая операция - кронекеровское или тензорное произведение матриц. Когда в матрицу $A$ вместо элемента $a_{ij}$ подставляется матрица $a_{ij}B$. Получается матрица порядка $m\cdot n$, где $m$ и $n$ - порядки матриц $A$ и $B$.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #296331 писал(а):

А кольцо матриц же не коммутативно

А ну и что? Где там коммутативность требуется?

Вот, например, теорема о том, что определитель произведения равен произведению определителей. Верна ли она, если мы рассматриваем матрицы над некоммутативным кольцом? (Определитель матрицы $(a_{ij})$ полагаем равным $\sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\ldots a_{n\sigma(n)}$.)

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #296677 писал(а):

Вот, например, теорема о том, что определитель произведения равен произведению определителей. Верна ли она, если мы рассматриваем матрицы над некоммутативным кольцом? (Определитель матрицы $(a_{ij})$ полагаем равным $\sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\ldots a_{n\sigma(n)}$.)

Не верна. Для матриц $2\time 2$ уже не проходит. $\det AB$ имеет вид $\sum aba'b'$, а $\det A\cdot\det B$ -- $\sum {aa'bb'}$;