Исследование особой точки системы дифф. уравнений

[agranom]

Дана система:
\begin{cases} \dot{x} = 2+y \\ \dot{y} = -x^2+x \end{cases}
И ее особая точка (x, y)=(1, -2). Перенесем заменой координат:
\begin{cases} x = 1+ \xi \\ y = -2+\eta \end{cases}
эту точку в точку (\xi, \eta)=(0, 0).
Линеаризуем систему
\begin{cases} \dot{x}=\dot{\xi} = \eta + \ldots\\ \dot{y}=\dot{\eta}=-\xi+\ldots \end{cases}
Корнями характеристического уравнения этой матрицы будут
\begin{vmatrix} -\lambda & 1\\ -1 & \lambda\end{vmatrix}=0 \Longrightarrow \lambda = \pm \sqrt{2}i. Тип особой точки - центр. Следовательно для исходной системы особая точка может быть либо центром, либо фокусом.
Как определить, какое из них? Если нулевое решение будет асимптотически устойчивым, то фокус, но доказать асимптотическую устойчивость - еще сложнее, как быть?

[Dan_Te]

Еще может быть неустойчивый фокус.
Кстати, а особую точку (0,-2) вы уже рассмотрели?

А собственно по задаче - действительно, непонятно. Я попробовал по-простому проверить, что в некоторой окрестности все точки приближаются к особой или удаляются от нее со временем (это бы сразу указывало на фокус), но не получилось, в любой окрестности особой точки есть области приближения и удаления. Видимо, надо проверять устойчивость.

[Руст]

Точка (0,-2) неустойчивая (гиперболическая). А данная точка устойчивая (но не асимптотический). Т.е. траектории в фазовой плоскости замкнутые линии. Это можно проверить непосредственным интегрированием нелинейной системы.

[agranom]

Руст писал(а):

Точка (0,-2) неустойчивая (гиперболическая). А данная точка устойчивая (но не асимптотический). Т.е. траектории в фазовой плоскости замкнутые линии. Это можно проверить непосредственным интегрированием нелинейной системы.

А можно ли дать ответ на вопрос о типе особой точки по первому интегралу:
Если мы применим замену
\begin{cases} x = 1+ \xi \\ y = -2+\eta \end{cases}
то исходная система преобразуется к виду:
\begin{cases} \dot{\xi} = \eta \\ \dot{\eta}=-\xi-\xi^2 \end{cases}
Следовательно
d\eta / d\xi =\frac{-\xi ^2-\xi }{\eta }, т.е.
\varphi=\frac{\xi^3}{3}+\frac{\xi^2+\eta^2}{2}=const - первый интеграл.
Как можно этот первый интеграл использовать?

[Руст]

agranom писал(а):

Следовательно
d\eta / d\xi =\frac{-\xi ^2-\xi }{\eta }, т.е.
\varphi=\frac{\xi^3}{3}+\frac{\xi^2+\eta^2}{2}=const - первый интеграл.
Как можно этот первый интеграл использовать?

Это задает около точки (0,0) замкнутые траектории в фазовой плоскости и тем самым доказывает устойчивость (но не асимптотическую) точки равновесия, о чём я раньше писал.