ТерМех. Задача на плоскопараллельное движение шарика

[st@sya]

Задача: мы толкаем шарик таким образом, чтобы он сначала двигался от нас, а потом вернулся. Т.е. сначала шарик двигается с проскальзыванием, потом он достигает какой-то точки, исчезает проскальзывание и он возвращается. Необходимо найти область значений для начальной скорости V_0 и начальной угловой скорости \omega _0 для которых шарик бы прикатился назад. Все, что может понадобится для решения задачи известно.



Составляю следующую систему:
$ \left\{ \matrix{ m\ddot x_c = - F_{tr.} ; \hfill \cr I_c \ddot f = K_e - F_{tr.}; \hfill \cr \ddot x_c = R\ddot f \hfill \cr} \right. $
$K_e - сумма моментов внешних сил, равен нулю.
Получаются начальные условия:
$\dot \phi (0) = \omega _0 , \dot x_c (0) = V_{c.0} $

Когда шарик двигается от нас , то движение с проскальзывание и получается что сила трения достигает своего максимально возможного значения $F_{tr.} = kmg$.
Я не могу сообразить как мне выразить эту зависимость, и не уверена в системе, хотя по идее других сил больше нет. Подскажите хотя бы в каком направлении двигаться дальше.

[Батороев]

Может быть, использовать закон сохранения энергии?
Допустим, составляющая $\dfrac{mv_0^2}{2}$ идет на преодоление трения скольжения в одном направлении,
а составляющая $\dfrac{I\omega_0^2}{2}$ - на преодоление трения качения в обоих направлениях.
Только здесь надо иметь в виду, что: $ v_0\ne \omega_0 \cdot R$.

[ewert]

$I\omega'=-F_{\text{тр}} \quad\Leftrightarrow\quad (\omega R)'=-\dfrac{R^2F_{\text{тр}}}{I};$
$mv'=-F_{\text{тр}} \quad\Leftrightarrow\quad v'=-\dfrac{F_{\text{тр}}}{m}.$

Соответственно,

$\omega(t)\cdot R=\omega_0 R-t\cdot\dfrac{R^2F_{\text{тр}}}{I};$
$v(t)\cdot=v_0-t\cdot\dfrac{F_{\text{тр}}}{m}.$

Проскальзывание прекратится в момент времени $t$, когда левые части сравняются.

Находим этот момент (т.е. выражаем его через $\omega_0$ и $v_0$) -- и подставляем в $v(t)$. Шарик вернётся в том и только том случае, если полученное значение скорости окажется отрицательным.

На выходе получим условие типа $\omega_0R>C\cdot v_0$, где $C$ -- это некоторая абсолютная постоянная (поскольку сила трения и масса сократятся, а отношение момента инерции к $mR^2$ для шарика известно).