Расстояние между двумя произвольными плоскостями.

[MMyaf]

Имеются две произвольные плоскости:$\alpha^ m = M_0 + A^ m, $\beta^ k = N_0 + B^k$.Где $M_0, N_0$ - начальные точки,$ A^ m, B^ k - направляющие пространства. Известно, что они параллельны. Найти расстояние между этими плоскостями.

Попробовал расспространить известный результат расстояния между плоскостями для маленьких размерностей плоскостей( для k = 1, 2 и для m = 1, 2 ) на общие k, m. Большого результата это не дало. С чего начать?

[Руст]

Для начала задайте ваши плоскости в более явном виде, т.е. или ортогональной системой векторов, принадлежащих этим плоскостям или ортогональной системой векторов ортогональных данной плоскости. Тогда станет ясно как вычислить расстояниемежду ними.

[MMyaf]

Допустим, что есть две системы линейных уравнений, которые задают каждую плоскость. А дальше ... . Все усугубляется тем, что плоскости произвольные, и размерности их k, m, тоже произвольные.

[Руст]

хорошо, проще когда уже заданы ортонормальная к плоскостям система векторов. Если у одного размерность меньше то ортонормальная система задается просто дополнением к имеющимся. Тогда проектируя вектора сдвигов на эти ортогональные пространства легко найти расстояние между ними. Общий случай сводится к этому предварительно вычисляя ортогональные дополнения.

[Someone]

MMyaf писал(а):

Имеются две произвольные плоскости:$\alpha^ m = M_0 + A^ m, $\beta^ k = N_0 + B^k$.Где $M_0, N_0$ - начальные точки,$ A^ m, B^ k - направляющие пространства.

Представьте вектор $\vec N_0-\vec M_0$ в виде суммы $\vec x+\vec y$, где вектор $\vec x$ ортогонален направляющим продпространствам $A^m$ и $B^k$, а вектор $\vec y$ принадлежит их сумме $A^m+B^k$. Тогда искомое расстояние равно длине (норме) вектора $\vec x$.

[Руст]

Someone писал(а):

MMyaf писал(а):

Имеются две произвольные плоскости:$\alpha^ m = M_0 + A^ m, $\beta^ k = N_0 + B^k$.Где $M_0, N_0$ - начальные точки,$ A^ m, B^ k - направляющие пространства.

Представьте вектор $\vec N_0-\vec M_0$ в виде суммы $\vec x+\vec y$, где вектор $\vec x$ ортогонален направляющим продпространствам $A^m$ и $B^k$, а вектор $\vec y$ принадлежит их сумме $A^m+B^k$. Тогда искомое расстояние равно длине (норме) вектора $\vec x$.

Это верно, что определяется длиной x, только вектор у не обязан принадлежат сумме A и B, как вы указали.

[MMyaf]

Цитата:

хорошо, проще когда уже заданы ортонормальная к плоскостям система векторов. Если у
одного размерность меньше то ортонормальная система задается просто дополнением к имеющимся. Тогда проектируя вектора сдвигов на эти ортогональные пространства легко найти расстояние между ними. Общий случай сводится к этому предварительно вычисляя ортогональные дополнения.

Не могли бы пояснить у чего одного( у чего размерность меньше ).

[Руст]

Когда имеется два параллельных подпространства, то это эквивалентно, что у одного из подпространств все ортогональные к нему векторы ортогональны и к другому. У пространства с меньшей размерностью появляются допольнительные ортогональные векторы. Поэтому проектируя вектор сдвига на пространство ортогональное к большей размерности и вычисляя длину полученного вектора получаем расстояние между ними.

[MMyaf]

Спасибо.

[Someone]

Руст писал(а):

Someone писал(а):

Представьте вектор $\vec N_0-\vec M_0$ в виде суммы $\vec x+\vec y$, где вектор $\vec x$ ортогонален направляющим продпространствам $A^m$ и $B^k$, а вектор $\vec y$ принадлежит их сумме $A^m+B^k$. Тогда искомое расстояние равно длине (норме) вектора $\vec x$.

Это верно, что определяется длиной x, только вектор у не обязан принадлежат сумме A и B, как вы указали.

Не понял. А какому подпространству должен принадлежать вектор $\vec y$?

И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. "Наука", Москва, 1967.

Задачи 1369 и 1376.

[Руст]

Сумма подпространств (как линейных подпространств) совпадает с пространством максимальной размерности, а х перпендикулярен обоим, т.е большему. Поэтому, когда большее не содержит меньшее у не обязан принадлежат большему. Это можно увидеть и в трёхмерном пространстве, вектор у не принадлежит плоскости, когда параллельное пространство не содержится в этой плоскости..

[Dan_Te]

Руст
Нет, как-то не очень понятно. В трехмерном пространстве (впрочем, как и в любом другом) принципиально возможны два варианта:
1) одинаковые размерности, то есть, прямая-прямая или плоскость-плоскость. Тогда вектор y будет параллелен обеим прямым или обеим плоскостям.
2) разные размерности, прямая-плоскость. Тогда вектор у не обязательно будет параллелен прямой, но будет параллелен плоскости.

[Руст]

Я извиняюсь перед форумчанами. Выпимшмсь не то виделось. Естественно любой вектор является суммой вектора из плосости и перпендикулярного этой плоскости. В данном случае в качестве плоскости служит "плоскость" большей размерности, а вектор перпендикулярной ему х перпендикулярен и плоскости меньшей размерности..

[Ольга1991]

Как найти расстояние между плоскостями х+4y-3z+7 и -2x-8y-6z-3=0...помогите плиз))

[vvvv]

Эти плоскости пересекаются - о каком расстоянии речь?