Область, заданная неравенствами

[Nogin Anton]

Да, тут ошибся. Но всё же не совсем понял почему наоборот. Если взять x=0, то значения будут 3 и 0 соответственно.
Но если взять 5, то значения будут -2 и 50.
Гляньте ещё такую:
Область: $y\le 3x$; $y\ge 0$; $3x+y\le 6$
$\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int^3_0dy\int^{\frac{y}{3}}_{\frac{6-y}{3}}f(x,y)dx=\int^1_0dx\int^{3x}_0f(x,y)dy+\int^2_1dx\int^{6-3x}_0f(x,y)dy$

[meduza]

Nogin Anton в сообщении #295819 писал(а):

Если взять x=0, то значения будут 3 и 0

Да. На всей области интегрирования ($-3/2\leqslant x \leqslant 1$) выполняется $2x^2\leqslant 3-x$, поэтому $2x^2$ будет снизу, $3-x$ сверху.

Nogin Anton в сообщении #295819 писал(а):

Но если взять 5, то значения будут -2 и 50.

Это уже за пределами области ($5>1$)

Nogin Anton в сообщении #295819 писал(а):

Гляньте ещё такую:

Опять та же ошибка, порядок пределов $\int^{\frac{y}{3}}_{\frac{6-y}{3}}f(x,y)dx$ проверьте (по рисунку, левая функция будет нижним пределом (от), правая верхним (до)). В остальном верно.

[Nogin Anton]

Всё та же задача:
Область $D: \{y\ge -x^2\\ x-y\le 2}$
Интегралы: $\iint_D f(x,y)dxdy=\int_{-2}^1dx\int_{x-2}^{-x^2}f(x,y)dy=\int_{-1}^0dy\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x,y)dx+\int_{-4}^{-1}dy\int_{-\sqrt{y}}^{2+y}f(x,y)dx$

[meduza]

Nogin Anton в сообщении #297194 писал(а):

$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_{-2}^1dx\int_{x-2}^{-x^2}f(x,y)dy=\int_{-1}^0dy\int_{{\color{blue}-\sqrt{y}}}^{{\color{blue}\sqrt{y}}}f(x,y)dx+\int_{-4}^{-1}dy\int_{{\color{blue}-\sqrt{y}}}^{2+y}f(x,y)dx$

Под корнем должно быть везде $-y$, а не $y$ (напр. при $y=-4$, $\pm\sqrt{-y}=\pm 2$). В остальном верно.

[Nogin Anton]

То есть так?
$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_{-2}^1dx\int_{x-2}^{-x^2}f(x,y)dy=\int_{-1}^0dy\int_{\sqrt{-y}}^{\sqrt{y}}f(x,y)dx+\int_{-4}^{-1}dy\int_{\sqrt{-y}}^{2+y}f(x,y)dx$

[meduza]

meduza в сообщении #297199 писал(а):

Под корнем должно быть везде $-y$, а не $y$

И минусы у вас перед корнем куда-то пропали... Вы должны понять почему так. Нарисуйте график, проверьте точки...

[Nogin Anton]

Всё, понял!
Сумма интегралов: $\int_{-4}^{-1}dy\int_{-\sqrt{-y}}^{y+2}f(x,y)dx+\int_{-1}^0dy\int_{-\sqrt{-1}}^{\sqrt{-y}}f(x,y)dx$

[meduza]

Правильно (если учесть, что $\sqrt{-1}$ лишь очепятка).

[Nogin Anton]

Вот такая область:
$x\ge y^2$; $x+y\le 2$
$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{-2}^1dy\int_{y^2}^{2-y}f(x,y)dx=\int_0^1dx\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}f(x,y)dy+\int_1^4dx\int_{-\sqrt{x}}^{2-x}f(x,y)dy$

[meduza]

Да

[Nogin Anton]

Посмотрите пожалуйста ещё области:
1) $y\ge -3x^2$; $2x-y\le 5$
$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{(-\frac{5}{3})}^{1}dx\int_{(2x-5)}^{(-3x^2)}f(x,y)dy=\int_{(-8.3)}^{(-3)}dy\int_{(-\sqrt{-\frac{y}{3}})}^{(\frac{y+5}{2})}f(x,y)dx+\int_{(-3)}^{(0)}dy\int_{(-\sqrt{-\frac{y}{3}})}^{(\sqrt{-\frac{y}{3}})}f(x,y)dx$
2) $x+y\le 2$; $x\ge 0$; $x-2y\le 2$
$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_0^2dx\int_{\frac{x-2}{2}}^{2-x}f(x,y)dy=\int_{-1}^0dy\int_0^{2+2y}f(x,y)dx+\int_0^2dy\int_0^{2-y}f(x,y)dx$

[meduza]

1) Если учесть, что вы опечатались в первом неравенстве (там наверняка $\leqslant$), то всё правильно, за исключением того, что $8{,}3\neq \frac{25}3$.
2) Правильно.

[Nogin Anton]

Скорее всего опечатка в сборнике.

[Nogin Anton]

Немного другая задача:
нужно изменить порядок интегрирования
$\int_{-1}^0dy\int_{-\sqrt{y+1}}^{y+1}f(x,y)dx=\int_{-1}^0dx\int_{x^2-1}^0f(x,y)dy+\int_0^1dx\int_{x-1}^0f(x,y)dy$

[meduza]

да