Интеграл

[maxmatem]

при решении задачи возникла необходимость взять интеграл
$\int \frac{dx}{x+kx^{2}-lx^{3}}$ где $k,l$-положительные числа.
я пробовал на простейшие дроби разложить на когда я рассмотрел
$\int \frac{dx}{x(1+kx-lx^{2})}$ , и попытался разложить на множители знаменатель,
$ x(1+kx-lx^{2})$, там такие корни в общем я засомневался в правильности выбраного метода, может какое подстановку сделать?

[gris]

Нет, всё правильно. В зависимости от того, какие корни, будут разные способы решения.

[maxmatem]

gris! там корни вот какие $x_{1}=\frac{k-\sqrt{k^{2}+4l}}{2l}$
$x_{2}=\frac{k+\sqrt{k^{2}+4l}}{2l}$
и ясно что $\sqrt{k^{2}+4l}$ положительно , и вы предлогаете представить
$x(1+kx-lx^{2})=x(x-\frac{k-\sqrt{k^{2}+4l}}{2l})(x-\frac{k+\sqrt{k^{2}+4l}}{2l})$
как то не очень удобно...

[gris]

А куда деваться? Будут три простые дроби. Коэффициенты найдёте подстановкой. Ничего страшного. Вы минус перед скобкой забыли.

[maxmatem]

$-\frac{1}{x(x-\frac{k-\sqrt{k^{2}+4l}}{2l})(x-\frac{k+\sqrt{k^{2}+4l}}{2l})}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-\frac{k-\sqrt{k^{2}+4l}}{2l})}+\frac{C}{(x-\frac{k+\sqrt{k^{2}+4l}}{2l})}$
так?

[gris]

$-1=A\left(x-\dfrac{k-\sqrt{k^{2}+4l}}{2l}\right)\left(x-\dfrac{k+\sqrt{k^{2}+4l}}{2l}\right)+Cx\left(x-\dfrac{k-\sqrt{k^{2}+4l}}{2l}\right)+Bx\left(x-\dfrac{k+\sqrt{k^{2}+4l}}{2l}\right)$

Подставьте последовательно ноль и два корня. Получится красиво.

[maxmatem]

а вы мне говорили что про подстановку.... значит в предыдущем соообщении
math/5cb81f643751ef8553a6ff8bfe5cc07182.gif
я был прав? извините за глупый вопрос ...вместо чего ноль подставить?

[gris]

Я имел в виду подстановку в тождество значений икс. Чтобы не решать систему.

Поправил, а потом вернул. Всё правильно, приводим к общему знаменателю и складываем. Оставляем числитель.

[ИСН]

maxmatem, прекратите таскать эти ящики за собой, а то уроните кому-нибудь на ногу. Обозначьте их через $x_1$ и $x_2$, а в конце, если угодно - - -

[maxmatem]

$A=\frac{1}{4l}$?

[gris]

$-1=A(x-a)(x-b)+Bx(x-b)+Cx(x-a)$

Я значительно улучшил идею ИСН.

$x=0;\quad -1=abA;\quad A=l$

[maxmatem]

а вы уверены что $A$ именно такое.... $-1=A(\frac{k-\sqrt{k^{2}+4l}}{2l})(\frac{k+\sqrt{k^{2}+4l}}{2l})=\frac{k^{2}-k^{2}-4l}{4l^{2}}=\frac{-A}{l}$ так?
$A=l$

-- Чт фев 25, 2010 23:20:18 --

ну вот хорошо! буду находить другие коэффиценты..

-- Чт фев 25, 2010 23:29:34 --

у меня$B=\frac{-2l^{2}}{k(k-\sqrt{k^{2}+4l})+4l}$

С=$\frac{-2l^{2}}{k(k+\sqrt{k^{2}+4l})+4l}$

проверьте если не трудно,,,