2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 19:31 


10/02/10
268
Помогите разобраться с диф. уравнением.
$\[
y'  \cdot \cos x + y = 1 - \sin x;
\]$
Решаю так $\[
\begin{array}{l}
 y = u \cdot v;u'  \cdot v \cdot \cos x + u \cdot (v'  \cdot \cos x + v) = 1 - \sin x; \\ 
 v' \cdot \cos x + v = 0;\frac{{v' }}{v} =  - \frac{1}{{\cos x}};\ln \left| v \right| =  - \int {\frac{1}{{\cos x}}dx}  \\ 
 \end{array}
\]$
Как взять последний интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Ну домножьте и разделите на такой же косинус. И косинус из числителя загоните под дифференциал, а внизу - тригонометрическое тождество. И будет вам счастье...

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 19:36 


10/02/10
268
Спасибо. :)

-- Чт фев 25, 2010 19:52:51 --

Пришёл в тупик. Получился такой ужас!!!
$\[
\begin{array}{l}
 \ln \left| v \right| =  - \int {\frac{{d( - \sin x)}}{{\sec ^2 x}}dx}  = \ln \left| {\sec x + tgx} \right|; \\ 

 u'  \cdot e^{\ln \left| {\sec x + tgx} \right|}  = \frac{{1 - \sin x;}}{{\cos x}} \\ 
 \end{array}
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
...на той горе лежит экспонента, а в ней логарифм, а в нём синус, а в нём арксинус, а в нём Кащеева смерть...
Ужас будет на следующем курсе. Впрочем - - -

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 20:31 


10/02/10
268
Так как же находить интеграл $\[
\int {\frac{{1 - \sin x}}{{\cos x \cdot e^{\ln \left| {\sec x + tgx} \right|} }}} dx
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 20:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Как и рекомендовал ИСН, для начала -- убить Кощея. Т.е. сократить логарифм с экспонентой. А там видно будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 20:42 


10/02/10
268
Где же найти того Ивана, который убьёт Кощея?

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 20:43 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
За неимением Ивана сойдет и Aden.

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Aden
Вы в курсе, что $e^{\ln{x}}=x, \, x>0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
ShMaxG, ну кто Вас за язык тянул? Этак всё священное знание можно разболтать!

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 20:52 


10/02/10
268
Получается следующее
$\[
\int {\frac{{1 - \sin x}}{{\cos x \cdot (\frac{1}{{\cos x}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}})}}} dx = \int {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} dx
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
А у Вас какой-то секанс в знаменателе...
$\ln |v|=-\int\dfrac{dx}{\cos x}=-\int \dfrac{d\sin x}{1-\sin^2 x}=-\dfrac12\ln\dfrac{|1+\sin x|}{|1-\sin x|}$

$v=\sqrt{\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}$

$u'=\sqrt{\dfrac{(1+\sin x)(1-\sin x)}{\cos^2x}$

$u'=1$


нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
На самом деле, $\[\sqrt {\frac{{1 + \sin x}}
{{1 - \sin x}}}  = \sec x + \operatorname{tg} x\]$ :)
Что дает:
$\[u' = \frac{{1 - \sin x}}
{{\cos x}}\left( {\frac{{1 + \sin x}}
{{\cos x}}} \right) = 1\]$ :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 21:20 


10/02/10
268
$\[
\begin{array}{l}
 u'  \cdot \sqrt {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}}  \cdot \cos x = 1 - \sin x; \\ 
 u'  = \frac{{\sqrt {(1 - \sin x) \cdot (1 + \sin x)} }}{{\cos x}} = \frac{{\cos x}}{{\cos x}} = 1; \\ 
 u = x + C \\ 
 \end{array}
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: дифференциальное уравнение
Сообщение25.02.2010, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Aden
Все верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group