дифференциальное уравнение

[Aden]

Помогите разобраться с диф. уравнением.
$\[ y' \cdot \cos x + y = 1 - \sin x; \]$
Решаю так $\[ \begin{array}{l} y = u \cdot v;u' \cdot v \cdot \cos x + u \cdot (v' \cdot \cos x + v) = 1 - \sin x; \\ v' \cdot \cos x + v = 0;\frac{{v' }}{v} = - \frac{1}{{\cos x}};\ln \left| v \right| = - \int {\frac{1}{{\cos x}}dx} \\ \end{array} \]$
Как взять последний интеграл?

[ShMaxG]

Ну домножьте и разделите на такой же косинус. И косинус из числителя загоните под дифференциал, а внизу - тригонометрическое тождество. И будет вам счастье...

[Aden]

Спасибо.

-- Чт фев 25, 2010 19:52:51 --

Пришёл в тупик. Получился такой ужас!!!
$\[ \begin{array}{l} \ln \left| v \right| = - \int {\frac{{d( - \sin x)}}{{\sec ^2 x}}dx} = \ln \left| {\sec x + tgx} \right|; \\ u' \cdot e^{\ln \left| {\sec x + tgx} \right|} = \frac{{1 - \sin x;}}{{\cos x}} \\ \end{array} \]$

[ИСН]

...на той горе лежит экспонента, а в ней логарифм, а в нём синус, а в нём арксинус, а в нём Кащеева смерть...
Ужас будет на следующем курсе. Впрочем - - -

[Aden]

Так как же находить интеграл $\[ \int {\frac{{1 - \sin x}}{{\cos x \cdot e^{\ln \left| {\sec x + tgx} \right|} }}} dx \]$

[ewert]

Как и рекомендовал ИСН, для начала -- убить Кощея. Т.е. сократить логарифм с экспонентой. А там видно будет.

[Aden]

Где же найти того Ивана, который убьёт Кощея?

[PAV]

За неимением Ивана сойдет и Aden.

[ShMaxG]

Aden
Вы в курсе, что $e^{\ln{x}}=x, \, x>0$?

[ИСН]

ShMaxG, ну кто Вас за язык тянул? Этак всё священное знание можно разболтать!

[Aden]

Получается следующее
$\[ \int {\frac{{1 - \sin x}}{{\cos x \cdot (\frac{1}{{\cos x}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}})}}} dx = \int {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} dx \]$

[gris]

А у Вас какой-то секанс в знаменателе...
$\ln |v|=-\int\dfrac{dx}{\cos x}=-\int \dfrac{d\sin x}{1-\sin^2 x}=-\dfrac12\ln\dfrac{|1+\sin x|}{|1-\sin x|}$

$v=\sqrt{\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}$

$u'=\sqrt{\dfrac{(1+\sin x)(1-\sin x)}{\cos^2x}$

$u'=1$


нет?

[ShMaxG]

На самом деле, $\[\sqrt {\frac{{1 + \sin x}} {{1 - \sin x}}} = \sec x + \operatorname{tg} x\]$
Что дает:
$\[u' = \frac{{1 - \sin x}} {{\cos x}}\left( {\frac{{1 + \sin x}} {{\cos x}}} \right) = 1\]$

[Aden]

$\[ \begin{array}{l} u' \cdot \sqrt {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \cdot \cos x = 1 - \sin x; \\ u' = \frac{{\sqrt {(1 - \sin x) \cdot (1 + \sin x)} }}{{\cos x}} = \frac{{\cos x}}{{\cos x}} = 1; \\ u = x + C \\ \end{array} \]$

[ShMaxG]

Aden
Все верно.