Несобственные интегралы

[Nogin Anton]

Здравствуйте!
Посмотрите пожалуйста моё решение:
$\int^{\infty}_2 \frac{2x^3+(arctg3x)^2}{3x^4+x^2+x+5} \cdot dx$
$\int^{\infty}_2 \frac{2x^3+3}{3x^4+x^2+x+5} \cdot dx$
$K=4-3=1$
$\int^{\infty}_2 \frac{dx}{x}$ - расходится

$\lim_{x\to \infty} \frac{(2x^3+3)x}{3x^4+x^2+x+5}=\frac23 \not =0 \not = \infty$

Оба Н.И. расходятся.

-- Ср фев 24, 2010 17:03:27 --

Спасибо за поправку! А решено верно?

[gris]

Верно, добавьте только потом словеса про отсутствие других несобственностей, кроме бесконечности, хотя при расходимости в одной остальные уже не играют никакой роли, но так, на всякий случай, про эквивалентность на бесконечности и про само правило.

[Nogin Anton]

Пасибо, gris!

[AKM]

Nogin Anton в сообщении #291831 писал(а):

Посмотрите пожалуйста моё решение:
$\int^{\infty}_2 \frac{2x^3+(arctg3x)^2}{3x^4+x^2+x+5} \cdot dx$
$\int^{\infty}_2 \frac{2x^3+3}{3x^4+x^2+x+5} \cdot dx$

Мне, например, неясно --- это две задачи или одна? Что, вторая формула есть некое преобразование первой? И мы вот так просто избавились от арктангенса? Некорректность какая-то...
gris, плииз, напишите ещё раз, что всё ОК, и я не буду себе голову забивать.

[gris]

Арктангенс ограничен. Это две задачи или одна, но они одинаковы.
Возможно хитроумный автор просто заменил пиквадратначетыре на тройку. В этом случае он несколько неправ. Надо минорировать, а он смажорировал. Хотя это не важно.

[Nogin Anton]

А можете ещё такой глянуть:
$\int^{-1}_{-\infty}\frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{arctgx}}$
$lim_{b\to -\infty}\int^{-1}_{b}\frac{(arctgx)^{-\frac12}}{(1+x^2)}dx=lim_{b\to -\infty}\int^{-1}_{b}(arctgx)^{-\frac12}\cdot d(arctgx)=2lim_{b\to -\infty}\sqrt{arctgx}|^{-1}_{b}=$
Подскажите пожалуйста

[AD]

Функция не определена ни в одной точке ^_^

Пара уроков чистописания:
$\arctg x$ лучше чем $arctgx$, $\lim\limits_{x\to\infty}$ лучше, чем $lim_{x\to\infty}$

[Nogin Anton]

Спасибо!
То есть он интеграл расходится?

[AD]

То есть у составителя задачи не все дома.
Считать ли в таких случаях интеграл расходящимся - вопрос философский.

(Оффтоп)

Ну Вы ж помните классификацию: интеграл собственный, если сам решил, и несобственный, если списал; сходящийся, если сходится с ответом, и расходящийся, если не сходится ...

[Nogin Anton]

Спасибо!

[gris]

Nogin Anton
Может быть там корень кубический, или минус стоит, или пределы положительные?
Но может быть такого задания.

[Nogin Anton]

Нет, всё как в посте.
Возможно ошибка в сборнике.

[gris]

Есть ещё одна версия - под корнем арккотангенс.

[Padawan]

(Оффтоп)

Квадратный корень из отрицательного числа!!! Аааа, какой кошмар!!!

[Nogin Anton]

не, аргтангенс