Вы не уточнили тип уравнений, для которых требуется описание метода Галеркина.
О методе Галеркина решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, например, кратко написано в [1].
О методе Галеркина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа совсем кратко написано в [2, гл. 10, §9, n.5]. Там же дается ссылка на монографию [3], где исследуется сходимость метода.
ref.
1. Волков Е.А. Численные методы. — М.: Наука, 1987 (
djvu).
2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том 2. — М.: Физматлит, 1959 (
djvu).
3. Михлин С.Г. Прямые методы в математической физике, 1950. (В Интернете эту книгу не нашел. В гл. 5 излагается теория метода Галеркина, приведено два частных примера.)
ДобавленоК слову, в русской Википедии (статья «Метод Галёркина») приводится ссылка на книгу
Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.-Л.: Наука, 1970 (свободно скачать djvu можно с
techlibrary.ru, 4.46 МБ).