Они (варианты) оба Ваши. Первый -- неправильный, второй -- верный.
Если бы мы сделали наоборот, сместили второй шарик, а первому задали начальную скорость, то получились бы такие уравнения
Неверная логика. "Наоборот" вышли бы начальные условия (о которых Вы, между прочим, молчок), уравнения же остались бы ровно такими же.
Кстати, обратите внимание:

в Ваших уравнениях -- это совсем не то

, которое указано в условии задачи.