Лишняя единица

[bot]

Пусть $p$ и $q$ - взаимно простые нечётные числа. Рассмотрим два вектора - каждый с $pq$ координатами в ортонормированном базисе. В первом векторе первые $p$ координат равны 1, вторые $p$ координат равны -1, затем, продолжая чередование, снова $p$ единиц и т.д. Во втором векторе - тоже начинается с единицы и тоже с таким же чередованием, но с заменой $p$ на $q$.
Доказать, что скалярное произведение этих векторов равно 1.

[ИСН]

Красиво. Надо $pq$ координат расставить в прямоугольник размером $p\times q$, руководствуясь их номером, вернее, остатками от его деления на $p$ и на $q$, соответственно (повторов не будет, поскольку $p$ и $q$ взаимно просты). Тогда у нас получится, что он закрашен в шахматном порядке, начиная с 1, и всё зашибись - все строки, кроме первой, аннигилируют попарно друг с другом, а в первой строке точно так же аннигилируют все числа, кроме первой единички.

[Руст]

На самом деле каждая строка даст 1 или -1 (количество элементов нечётное), поэтому нмкакой аннигиляции. Для решения проще сопоставить числу i из Z/pqZ пару чисел (j,k) из Z/pZ*Z/qZ. Тогда координата первого вектора в такой записи равна (-1)^k, второго (-1)^j. Соответственно скалярное произведение

$$\sum_{i,j}(-1)^k(-1)^j=1$$

.

[bot]

Дык это одно и то же:

$$\sum_{0\le n < pq}(-1)^{[\frac{n}{p}]+[\frac{n}{q}]}=\sum_{0\le n < pq}(-1)^{n-p[\frac{n}{p}]+n-q[\frac{n}{q}]}= $$

$$\sum_{0\le i < p, \ 0\le j < q}(-1)^{i+j}=\sum_{0\le i < p}(-1)^i\cdot \sum_{0\le j < q}(-1)^j = 1$$

.

ИСН писал про аннигиляцию всех строк, за исключением первой (можно было просто "растянуть" матрицу в одну строку) и так полагаю непосредственно из первой суммы увидел следующую картинку:
В таблице p на q начиная с левого верхнего угла по диагонали ставим плюсы до тех пор пока не доходим до границы (нижней или правой), в этом случае меняем знак и переходим в начало (вверх или влево). В результате из-за взаимной простоты и нечётности p, q получим обход всей таблицы, которая при этом раскрасится в шахматном порядке.

[ИСН]

Именно так я и увидел. Спасибо за более детальное объяснение.