Эрмитовость билинейной формы

[fish-ka]

Задача такова: доказать, что в комплексном векторном пространстве условие f(x,x)\ge0 влечет, что билинейная форма f является эрмитовой, то есть для любых x,y $f(x,y)$=$\overline{f(y,x)}$.

Равенство легко получается с помощью поляризационного тождества, но вот вопрос: где тогда используется условие положительности формы?

[Padawan]

Как же она может быть билинейной, если $f(x,\alpha y)=\overline{f(\alpha y,x)}=\overline{\alpha}f(x,y)$?

[fish-ka]

В нашем определении под билинейностью понимается привычная Вам полуторалинейность.

[Padawan]

запишите равенство $\overline{f(\alpha x+\beta y, \alpha x+\beta y)}=f(\alpha x+\beta y, \alpha x+\beta y)$ раскройте скобки, кое-что сократите. Получится тождество относительно $\alpha,\beta,x,y$ которое при фиксированных $x,y$ по $\alpha$ и $\beta$ может удовлетворятся тождественно только если $f(x,y)=\overline {f(y,x)}$. А положительность, да, не используется, только вещественность.

[fish-ka]

Спасибо!