Прогрессия с косинусами!

[danil199412]

Задача:
Вычислите $cos1 * cos3 * cos5 ... cos87 * cos89$

[AD]

$\cos 1^\circ\cdot\cos 89^\circ=?$
Ну и должно схлопываться по идее.

-- Вс фев 21, 2010 08:26:48 --

Обратите внимание, как я написал формулы.
(например, можете меня процитировать)

[danil199412]

Дадада...я изучал это в 9 классе, к сожалению я забыл что вот это свойстводает...=( не можите напомнить мне?

[ИСН]

$\cos a\cdot\cos b={1\over 2}\left(\vphantom{1\over 2}\cos(a+b)+\cos(a-b)\right)$

[gris]

Чего-то понравилось формулы набивать

$\cos 1^\circ\cdot\,\cos3^\circ\cdots\cos87^\circ\cdot\,\cos89^\circ=$

$\cos 1^\circ\cdot\,\cos89^\circ\quad\cdot\cos 3^\circ\cdot\cos87^\circ\quad\cdots\quad\cos43^\circ\cdot\,\cos47^\circ\quad\cdot\cos45^\circ=$

$\dfrac12\big(\cos 90^\circ+\,\cos88^\circ\big)\cdot\dfrac12\big(\cos 90^\circ+\,\cos84^\circ\big)\cdots\dfrac12\big(\cos 90^\circ+\,\cos4^\circ\big)\cdot\cos45^\circ=$

[ShMaxG]

$\[\begin{gathered} \cos {1^ \circ } \cdot \cos {3^ \circ } \cdot ... \cdot \cos {89^ \circ } = \sin {1^ \circ }\cos {1^ \circ }\sin {3^ \circ }\cos {3^ \circ } \cdot ... \cdot \sin {43^ \circ }\cos {43^ \circ } \cdot \cos {45^ \circ } = \hfill \\ = \frac{1} {{\sqrt 2 }}\frac{1} {{{2^{22}}}}\frac{{\cos {2^ \circ }\sin {2^ \circ }\sin {6^ \circ }...\sin {{86}^ \circ }}} {{\cos {2^ \circ }}} = \hfill \\ = \frac{1} {{\sqrt 2 }}\frac{1} {{{2^{22}}}}\frac{1} {2}\frac{{\sin {4^ \circ }\sin {6^ \circ }\sin {{10}^ \circ }...\sin {{78}^ \circ }\sin {{82}^ \circ }\sin {{86}^ \circ }}} {{\cos {2^ \circ }}} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Теперь смотрите. $\[\sin {86^ \circ } = \cos {4^ \circ }\] $, далее используйте формулу двойного аргумента для синуса. Вылезет $1/2$ и $\sin{8^ \circ}$. Но $\[\sin {82^ \circ } = \cos {8^ \circ }\]$. И снова жахните формулу двойного аргумента синуса. И так далее... Таким образом, схлопывая синусы и косинусы к синусам двойных углов однажды вылезет $\[\sin {88^ \circ }\]$, сократится со знаменателем. У меня получилось:

$\[\frac{1} {{\sqrt 2 }}\frac{1} {{{2^{22}}}}\frac{1} {{{2^{14}}}}\sin {6^ \circ }\sin {10^ \circ }\sin {18^ \circ }\sin {42^ \circ }\sin {50^ \circ }\sin {54^ \circ }\sin {66^ \circ }\sin {70^ \circ }\sin {78^ \circ }\]$

Теперь домножьте и разделите на $\cos{6^\circ}$ и снова повторите процедуру. И т.д.

[danil199412]

Все равно, я не понимаю, может обьясните поподробней?

[AD]

danil199412,
В каком месте не понятно?

В Ваших интересах указать конкретные затрудения. Это уменьшает количество букв, которые должны быть набраны помогающими при ответе, и, следовательно, увеличивает вероятность помощи.

К тому же, такие Ваши сообщения показывают, что помощь Вам - занятие неблагодарное/неокупающееся: люди тратили время, набирали красиво формулки, а Вы как будто все равно ничего понимать не соизволили.

[danil199412]

Именно: $ \sin {1^ \circ }\cos {1^ \circ }\sin {3^ \circ }\cos {3^ \circ } \cdot ... \cdot \sin {43^ \circ }\cos {43^ \circ } \cdot \cos {45^ \circ } $
А потом идут дроби ещё...этого вообще не понимаю=(;

[AD]

Ну тогда

AD в сообщении #291764 писал(а):

Формула призракаприведения

-- Ср фев 24, 2010 13:16:25 --

А потом двойного угла.