Интегралы. Разложение на простейшие дроби.

[Mikle1990]

Спасибо всем. Щас пытаюсь разобраться на практике - решаю задачки...

[Mikle1990]

Сейчас решаю второй пример из темы "Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби".

Что-то не очень получается.

Вот пример.
$\int \frac{2x^2+x+3}{(x+2)(x^2+x+1)}$\,dx
Смотрю, думаю - "надо раскладывать на простейшие дроби".
Вот попытался так:
$\frac{2x^2+x+3}{(x+2)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac {Bx}{x^2+x+1} $
ничего не вышло . help please......

Предупреждение за дублирование тем! Темы объединены.

[meduza]

Mikle1990
Ну я же писал пример в прошлой теме (кстати, не обязательно было новую тему создавать). Во второй дроби в числителе должно быть $Bx+C$! Перечитайте прошлую тему, какой толк по 50 раз повторять одно и тоже, если можно 50 раз прочитать уже написанное?!

[ewert]

Mikle1990, Вам же в той ветке предыдущий оратор не поленился и выложил почти полную инструкцию, в каком виде надо искать разложение:

meduza в сообщении #291054 писал(а):

$$\begin{gathered} \frac{x^5+2x^4+3x^3+4x^2+5x+6}{(x-7)^4 (x^2+8)^3 (x+9)}\equiv \underbrace{\frac{A}{(x-7)^4}+\frac{B}{(x-7)^3}+\frac{C}{(x-7)^2}+\frac{D}{x-7}}_{\text{это от $(x-7)^4$, корни которого {\it действительные}}}+\\ +\underbrace{\frac{Ex+F}{(x^2+8)^3}+\frac{Gx+H}{(x^2+8)^2}+\frac{Kx+L}{x^2+8}}_{\text{это от $(x^2+8)^3$, у которого {\it нет действ. корней}}}+ \underbrace{\frac{M}{x+9}}_{\text{это от $x+9$ с {\it действит. корнем}}}\end{gathered}$$

Фирштейн?

"Почти" -- т.к. там был двучлен $(x^2+8)$, а тут трёхчлен $(x^2+x+1)$. Но они оба квадратичны и, значит, с точки зрения вида разложения ничем принципиально не различаются. Неужто это так трудно сообразить?...

----------------------------------------------------
Ладно. Не исключено,что Вам не просто лень восполнять пробелы, а Вам действительно толком этого не объясняли.

Основные принципы.

1). Дробь должна быть правильной (иначе -- предварительное деление уголком).

2). Знаменатель вещественной дроби всегда раскладывается в произведение множителей или линейных (возможно, в некоторой степени), или квадратичных (возможно, тоже в некоторой степени).

3). Простейшими дробями считаются или произвольные пока константы, делённые на линейные множители из числа присутствующих в разложения исходного знаменателя (неважно в какой степени) -- или произвольные линейные выражения, делённые на квадратичные множители знаменателя (опять же неважно в какой те множители степени).

4). В каждом слагаемом разложении всей дроби скобка в соответствующем знаменателе может иметь любую допустимую степень от первой и вплоть до той, в которой она присутствовала в исходном знаменателе.

[Mikle1990]

$\int \frac {2x^2+x+3}{(x+2)(x^2+x+1)}$

$(x+2)$ - имеет действительный корень $x=-2$
$(x^2+x+1)$ - не имеет действительных корней.

$\int \frac {2x^2+x+3}{(x+2)(x^2+x+1)} = \int \frac {A}{x+2} + \int \frac {Bx}{x^2+x+1} + \int \frac {C} {x^2+x+1} $

такс... это(то что выше) правильно ?


А теперь несколько вопросов:
1. По какой формуле определить имеются или не имеются действительные корни?

2. У меня в учебнике написано что перед интегрированием рац. дроби надо сделать несколько вещей. Написано "2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители $Q(x) = (x-a)^m...(x^2+px+q)^n...$,
где $\frac {p^2}{4} - q < 0$, т.е. трехчлен $x^2+px+q$ имеет комплексные сопряженные корни". Имеется ввиду надо разложить так, чтоб трехчлен $x^2+px+q$ не имел действительных корней?

3. Что такое "линейный множитель"? $(x-a)^m$?

4. Что такое "квадратичный множитель"? $(x^2+px+q)^n$?

5. А трехчлен(многочлен) обязательно должен иметь либо действительные либо комплексные корни? Или он вообще может быть без корней?

Пока всё. Извините если напрягаю. Я уже начал что-то понимать)

[ewert]

ewert в сообщении #291228 писал(а):

такс... это(то что выше) правильно ?

Правильно.

ewert в сообщении #291228 писал(а):

1. По какой формуле определить имеются или не имеются действительные корни?

Решить квадратное уравнение.

Mikle1990 в сообщении #291223 писал(а):

3. Что такое "линейный множитель"? $(x-a)^m$?

Это -- множитель вида $(x-a)$.

Mikle1990 в сообщении #291223 писал(а):

4. Что такое "квадратичный множитель"? $(x^2+px+q)^n$?

Это -- множитель вида $(x^2+px+q)$.

Mikle1990 в сообщении #291223 писал(а):

Или он вообще может быть без корней?

Не может.

[meduza]

Mikle1990 в сообщении #291223 писал(а):

такс... это(то что выше) правильно ?

Да.

Mikle1990 в сообщении #291223 писал(а):

А теперь несколько вопросов:

1. На уровне пятого класса: если уравнение "решается", то действительные корни есть. Квадратное уравнение $x^2+x+1=0$ "не решается", т. к. дискриминант $D=b^2-4ac=1-4\cdot 1\cdot 1<0$ -- значит корней действительных нет.

2. Нужно найти все корни знаменателя и разложить на множители его. Этому в школе учат долго и упорно. Напр. $x^2-4=(x-2)(x+2)$, а вот $x^2+x+1$ так уже не разложишь, его оставляешь как есть.

3. Максимальная степень $x$ -- 1. (Сравни: линейное уравнение в школе.)

4. Максимальная степень $x$ -- 2. (Сравни: квадратное уравнение в школе.)

5. Многочлен степени $n$ (т. е. максимальна степень $x$ равна $n$) имеет ровно $n$ корней, они могут быть либо действительными, либо комплексными, либо часть те и часть те. (Но комплексные корни всегда парами ходят, поэтому их у многочлена всегда либо чётное число, либо 0. Но это здесь не важно.)

[AD]

(Оффтоп)

meduza в сообщении #291230 писал(а):

На уровне пятого класса: если уравнение "решается", то действительные корни есть.

Пятого? о_О, мне кажется, формула квадрата суммы - это примерно седьмой класс, а иррациональные числа - уже скорее восьмой, а для решения квадратных уравнений нужно и то, и другое.

[Mikle1990]

Тот пример решил) Всем ещё раз спасибо)
Подумал - "Может и другой решу", через 30 мин начал жалеть, ещё через 20 голова начала пухнуть

Вот этот дружок:
$\int \frac{5x^3-17x^2+18x-5}{(x-1)^3(x-2)}\,dx = \int \frac{A}{(x-1)^3}\,dx + \int \frac {B} {(x-1)^2}\,dx + \int \frac {C}{x-1}\,dx + \int \frac {D}{x-2}\,dx $

В итоге получается система с 4-мя неизвестными, которую решать часа пол(при этом я вообще не знаю как решать такую)
Вот эта мерзавка:
$x^3$| $5= C +D$
$x^2$| $-17 = B - 4C -3D$
$x $ | $18 = A - 3B + 5C +3D$
$x^0 $|$-5 = 2B-2A-2C-D$

Честно? Я просто в шоке
Без вашей помощи мне никак не справиться.
Help please

- Отредактировано -

Подобрал кое-как значения, подошли.
$ A = -1 , B = 0 , C = 2 , D = 3 $

Вообще, когда так методом подбора находятся неизвестные, то это плохо?
(Как по-другому в данной задачи найти?)

Кто-нибудь проверьте пожалуйста от начала и до конца сообщения. У меня всё правильно?

[gris]

$ \dfrac{5x^3-17x^2+18x-5}{(x-1)^3(x-2)}= \dfrac{A}{(x-1)^3}+ \dfrac {B} {(x-1)^2}+ \dfrac {C}{x-1} + \dfrac {D}{x-2}$

${5x^3-17x^2+18x-5=A(x-2)+B(x-1)(x-2)+C(x-1)^2(x-2)+D(x-1)^3$

Теперь подставим в равенство $x=2$ и $x=1$. Сразу найдём $A$ и $D$

[AKM]

Из первого уравнение находим, что $D=5-C$, подставляем во второе-третье-четвёртое, упрощаем, результат опять приводим на форуме. Можно снова со словами типа "ах, я ваще в ещё большем шоке" или там "это какой-то ужас!!!" --- это, надеюсь, сами придумаете-выберете.

А вот вижу --- gris по-умному предложил...

[Mikle1990]

gris в сообщении #291412 писал(а):

Теперь подставим в равенство $x=2$ и $x=1$. Сразу найдём $A$ и $D$

Это что вообще за приём? Мы имеем право так подставить? Почему?
Просьба показать как Вы так находите сразу........

[gris]

Есть такой приём. Описан в руководствах. Хорошо работает при одно-двукратных корнях. Вначале корни подставляем. Потом можно подставить 0 и 3.

[AKM]

Mikle1990 в сообщении #291414 писал(а):

Мы имеем право так подставить? Почему?

Потому что... (при любых иксах, там было написано).

[Mikle1990]

Вот такой пример сейчас решаю:
$\int \frac{x^3+x+1}{x^4-81} = \int \frac{x^3+x+1}{(x^2-9)(x^2+9)} = \int \frac{x^3+x+1}{(x-3)(x+3)(x^2+9)} = \int \frac {Adx}{x-3} + \int \frac {Bdx}{x+3} + \int \frac {Cx+D}{x^2+9}\,dx $
После некоторых действий у меня получилось вот это:
$x^3$|$1 = A+B+C$
$x^2$|$0 = 3A - 3B + D$
$x\,$ | $1 = 9A + 9B - 9C$
$x^0$| $1 = 27A - 27B - 9D$

вот к чему я пришёл :
$2 = 10A + 10B - 8C$
$1 = 30A - 30B - 8D$

И что? Я опять был шокирован , т.к. в прошлый раз мне помогла интуиция, а в этот $A,B,C,D$ надо как-то искать.

И тут у меня два вопроса:
1) Правильно ли я составил то, что после слов "После некоторых действий..."?
2) Как мне найти $A,B,C,D$?

Heeelp please....