Касательная к X^4+Y^4=R^4

[Adler]

Здравствуйте!

Есть функция $X^4+Y^4=R^4$ ; $R^4=const$
выглядит она примерно вот так:


Нужно найти точки касания касательных проведённых через заданную точку $\overrightarrow{M}(x_0,y_0)$
$(x-x_0)^4+(y-y_0)^4>r^4$
Ход решения:

обозначим $f(x,y)=x^4+y^4$
обозначим одну из точек касания за $\overrightarrow{A}(x_a,y_a)$
найдём градиент в точке касания$\overrightarrow{G}(x_a,y_a)=\operatorname{grad} f(x_a,y_a)=(4x_a^3,4y_a^3)$

Теперь собственно идея: Скалярное произведение градиента на вектор, коллинеарный касательной, равно нулю и касательная эта проходит через точку M.
записать можно так:
$\overrightarrow{G}(x_a,y_a)\cdot (\overrightarrow{A}(x_a,y_a)-\overrightarrow{M}(x_0,y_0))=0$

распишем это поподробнее: $4x_a^3(x_a-x_0)+4y_a^3(y_a-y_0)=0$
делим на 4, потом открываем скобки
$x_a^3(x_a-x_0)+y_a^3(y_a-y_0)=0$
$x_a^4-x_0x_a^3+y_a^4-y_0y_a^3=0$
завернём в скобки для наглядности
$(x_a^4-x_0x_a^3) + (y_a^4-y_0y_a^3)=0$
теперь вспомним это $X^4+Y^4=R^4$ и будем думать, что $x_a=(r^4-y_a^4)^{1/4}$
теперь подставим это:
$((r^4-y_a^4)^{1/4})^4-x_0(r^4-y_a^4)^{1/4})^3) + (y_a^4-y_0y_a^3)=0$
немного халтурим и...
$((r^4-y_a^4)-x_0(r^4-y_a^4)^{3/4}) + (y_a^4-y_0y_a^3)=0$
убираем лишние скобки:
$r^4-y_a^4-x_0(r^4-y_a^4)^{3/4}+y_a^4-y_0y_a^3=0$
немного переставим местами
$r^4-y_a^4+y_a^4-x_0(r^4-y_a^4)^{3/4}-y_0y_a^3=0$
$r^4-x_0(r^4-y_a^4)^{3/4}-y_0y_a^3=0$
$r^4-y_0y_a^3=x_0(r^4-y_a^4)^{3/4}$
теперь надо вытащить $y_a$, возведём в 4 степень
$(r^4-y_0y_a^3)^4=x_0(r^4-y_a^4)^3$
вот, а дальше у меня ничего хорошего не получилось... но я всё равно напишу эту жесть...
$(c-y_0y_a^3)^4=c^4 -4c^3y_0y_a^3 +6c^2y_0^2y_a^6 -4cy_0^3y_a^9 +cy_0^4y_a^{12}$
$(c-y_a^4)^3=c^3 -3c^2y_a^4 +3cy_a^8 -y_a^{12}$
$x_0(c-y_a^4)^3=x_0c^3 -3x_0c^2y_a^4 +3x_0cy_a^8 -x_0y_a^{12}$
теперь это в одну строчку:
$cy_0^4y_a^{12}-x_0y_a^{12}-4cy_0^3y_a^9+3x_0cy_a^8+6c^2y_0^2y_a^6-3x_0c^2y_a^4+c^4+x_0c^3=0$
$y_a^{12}(cy_0^4-x_0)-4cy_0^3y_a^9+3x_0cy_a^8+6c^2y_0^2y_a^6-3x_0c^2y_a^4+c^4+x_0c^3=0$
$(cy_0^4-x_0)y_a^{12}-(4cy_0^3)y_a^9+(3x_0c)y_a^8+(6c^2y_0^2)y_a^6-(3x_0c^2)y_a^4+(c^4+x_0c^3)=0$
как решить уравнение 12 степени я не знаю... что я делаю не так?

[VPro]

На самом деле все просто.

$y(x)=\pm (R^4-x^4)^{\frac14}$
$y'(x)=\mp x^3(R^4-x^4)^{-\frac34}$


Касательная проходит через точку $(x_0,y_0)$ и точку $(x_1,y_1)$, лежащую на кривой, т.е. можно записать систему уравнений:
$y_1=\pm (R^4-x_1^4)^{\frac14}$
$y_1=y'(x_1)(x_1-x_0)+y_0$

Два уравнения, два неизвестных: $x_1, y_1$. Решайте...
Да. Уравнение получится минимум 12-ой степени.

[AKM]

Adler в сообщении #290369 писал(а):

как решить уравнение 12 степени я не знаю... что я делаю не так?

Вы многое делаете не так. Хотя, возможно, приходите к правильным уравнениям.
Во-первых, Вы работаете с кривой (и ищете касательную к кривой), заданной неявно уравнением $F(x,y)\equiv x^4+y^4-R^4=0$. Слово "функция" сюда можно вставить грамотно, получится громоздко. Но лучше не вставлять. А у Вас оно вставлено как-то неграмотно.

Во-вторых, Вы заводите излишние обозначения $x_a,y_a$ для точки касания, которая принадлежит кривой и вполне может обозначаться просто как $x,y$. Тем самым Вы утруждаете и себя, писателя, и читателя.

В-третьих, Вы там безо всяких объяснений заводите некое $c$.

Наконец, получив уравнение 12-й степени, Вы пугаетесь и, похоже, только на основании этого делаете вывод, что Вы ошиблись. Это недостаточное основание.

Система уравнений имеет вид

$$\begin{cases}x^4+y^4-R^4=0,\\ \dfrac{y-y_0}{x-x_0}=-\dfrac{F'_x}{F'_y}, \end{cases}$$

и при исключении $x$ или $y$ превращается в уравнение 12-й степени относительно другой переменной.

Задача решается только численно. Почитать про (не)разрешимость алгебраических уравнений полезно.
Есть где почитать? Нешкольный справочник, например.

[gris]

Кривая выпуклая и гладкая. Может быть попробовать свойство касательной иметь с такой кривой ровно одну общую точку?

[AKM]

(Продолжение моего поста)
...Вопрос о том, как из таких систем исключается одна переменная я пока не затронул (не знаю, как он обычно освещается в учебной литературе).
У меня получилось

$$ \left( y_0^{4}+ x_0^{4} \right) {x}^{12}-4\,{R}^{4} x_0^{3} x^9-3\, y_0^{4}{R}^{4}{x}^{8}+6\,{R}^{8}x_0^{2}x^{6}+3\, y_0^{4}{R}^{8}{x}^{4}-4\,{R}^{12} x_0{x}^{3}+{R}^{12} ( R^4- y_0^4)=0 $$

А кривая, конечно, дико неправильно нарисована. Фу. Я уж было начал думать, а как у нас описывается случая, когда точка лежит на продолжении горизонтального участка... Потом, конечно, одумался, но оно слегка гипнотизирует. Фу!

-- Пт фев 19, 2010 16:21:32 --

2 gris.
Ну, лично я только по-тупому умею, по-быстрому...
Как тут сумничать --- не знаю. Полярные координаты? Вряд ли...

[Adler]

упс.. да, я забыл написать что: $c=r^4$
и ещё не верно в 4 степень вот это возвёл...
$r^4-y_0y_a^3=x_0(r^4-y_a^4)^{3/4}$
вот так-вот должно быть:
$(r^4-y_0y_a^3)^4=(x_0(r^4-y_a^4)^{3/4})^4$
и только потом вот-так:
$(r^4-y_0y_a^3)^4=x_0^4(r^4-y_a^4)^3$
если не использовать $c$, то будет так:
левая часть

$$(r^4-y_0y_a^3)^4=(r^4)^4 -4(r^4)^3(y_0y_a^3) +6(r^4)^2(y_0y_a^3)^2 -4(r^4)(y_0y_a^3)^3 +(y_0y_a^3)^4$$

теперь без лишних скобок:

$$(r^4-y_0y_a^3)^4=r^{16} -4(r^{12})(y_0y_a^3) +6(r^8)(y_0^2y_a^6) -4(r^4)(y_0^3y_a^9) +(y_0^4y_a^{12})$$

правая часть

$$x_0^4(r^4-y_a^4)^3=(x_0^4)(r^4)^3 -3(x_0^4)(r^4)^2(y_a^4) +3(x_0^4)(r^4)(y_a^4)^2 -(x_0^4)(y_a^4)^3$$

убираем лишних скобки:

$$x_0^4(r^4-y_a^4)^3=(x_0^4)(r^{12}) -3(x_0^4)(r^8)(y_a^4) +3(x_0^4)(r^4)(y_a^8) -(x_0^4)(y_a^{12})$$

дальше из левой части вычитаем правую...

$$(y_0^4y_a^{12}) +(x_0^4)(y_a^{12}) -4(r^4)(y_0^3y_a^9) -3(x_0^4)(r^4)(y_a^8) +6(r^8)(y_0^2y_a^6) +3(x_0^4)(r^8)(y_a^4) +r^{16} -(x_0^4)(r^{12})=0$$

немного упрощаем:

$$(y_0^4+x_0^4)y_a^{12} -(4r^4y_0^3)y_a^9 -(3x_0^4r^4)y_a^8 +(6r^8y_0^2)y_a^6 +(3x_0^4r^8)y_a^4 +(r^{16}-x_0^4r^{12})=0$$

и это уже похоже на это:

AKM писал(а):

У меня получилось

$$ \left( y_0^{4}+ x_0^{4} \right) {x}^{12}-4\,{R}^{4} x_0^{3} x^9-3\, y_0^{4}{R}^{4}{x}^{8}+6\,{R}^{8}x_0^{2}x^{6}+3\, y_0^{4}{R}^{8}{x}^{4}-4\,{R}^{12} x_0{x}^{3}+{R}^{12} ( R^4- y_0^4)=0 $$

AKM писал(а):

А кривая, конечно, дико неправильно нарисована.

почему? чем вам так не понравились горизонтальные и вертикальные участки?

AKM писал(а):

Полярные координаты? Вряд ли...

я вот думаю, $\sin^4(t)+\cos^4(t)=1$ будет описывать такую же кривую или нет...

AKM писал(а):

Задача решается только численно

тоесть если я скажу что $r=1; x_0=7; y_0=11;$ то это можно решить?

[AKM]

Adler в сообщении #290431 писал(а):

почему? чем вам так не понравились горизонтальные и вертикальные участки?

Их не может быть. Уж только начавши рисовать график, Вы это поймёте. Другое дело, что при степенях повыше четвёрки мы нашими хилыми глазками не отличим близкие к горизонтальным учаски от реально горизонтальных. Но при четвёрке... это вряд ли так, как Вы нарисовали.

Там на самом деле более фундаментальные соображения имеются. Я, к сожаленью, плохо знаю математику, но у них есть такая теорема, что ежели где-то чего-то на кусочке постоянно/горизонтально, то оно везде постоянно/горизонтально. Это касается, конечно, определённых функций (они их называют аналитическими), но Ваша такова, что аналитичнее и не придумаешь. Углубляться в это не буду, есть спецы поаналитичнее меня.

Цитата:

тоесть если я скажу что $r=1; x_0=7; y_0=11;$ то это можно решить?

Ну да... численно. $y_1=-.7363$, $y_2=0.8025$.

-- Пт фев 19, 2010 20:18:48 --

Adler в сообщении #290431 писал(а):

я вот думаю, $\sin^4(t)+\cos^4(t)=1$ будет описывать такую же кривую или нет...

Подумайте ещё: написанное Вами уравнение позволяет найти одно или несколько ($t_{1,2}+n\pi$) чисел-значений $t$, ему удовлетворяющих. И не более того. Где здесь какая-то кривая???

[Adler]

AKM писал(а):

Их не может быть.

их и нет . это погрешность дискретизации. Точнее если первая производная на каком-то множестве находиться в ε-окрестности нуля, то исходная кривая на этом множестве есть прямая ... как-то так$\epsilon$

AKM писал(а):

Но при четвёрке... это вряд ли так, как Вы нарисовали.

вот, сделал побольше и одноцветным

так лучше?

AKM писал(а):

Ну да... численно. $y_1=-.7363$, $y_2=0.8025$.

$17042y_a^{12}-5324y_a^9-7203y_a^8+726y_a^6+7203y_a^4-2401=0$
при $y_a=+0.8025$ , это всё равно +22.1787
при $y_a=-0.7363$ , это всё равно -19.1662 , что не так уж и плохо для 12 степени. Осталось спросить, как ты это посчитал? подбором?

[AKM]

Adler в сообщении #290477 писал(а):

$17042y_a^{12}-5324y_a^9-7203y_a^8+726y_a^6+7203y_a^4-2401=0$ (у меня -2400)
при $y_a=+0.8025$ , это всё равно +22.1787 (у меня 0.4)
при $y_a=-0.7363$ , это всё равно -19.1662 (у меня -0.6), что не так уж и плохо для 12 степени. Осталось спросить, как ты это посчитал? подбором?
(Вставил в цитату комментарии. АКМ)

Маплом посчитал. Только укруглил егойные -.7363355460, .8024682911

-- Пт фев 19, 2010 22:16:06 --

$-44y_a^3$ пропущено.