Производные высших порядков сложной функции

[Phobos]

Пусть
$f=f(x),$
$x=x(t),$
необходимо получить нерекуррентное выражение для n-ой производной сложной функции $f(x(t))$ то есть $\frac{d^nf}{dt^n}$.
Полагая $\frac{df}{dt}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt},$ применением определения $\frac{d^nf}{dt^n}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}\right)$ после упрощений можно получить
$\frac{d^2f}{dt^2}=\frac{d^2f}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{df}{dx}\frac{d^2x}{dt^2},$
$\frac{d^3f}{dt^3}=\frac{d^3f}{dx^3}\left(\frac{dx}{dt}\right)^3+3\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{dt}+\frac{df}{dx}\frac{d^3x}{dt^3},$
$\frac{d^4f}{dt^4}=\frac{d^4f}{dx^4}\left(\frac{dx}{dt}\right)^4+6\frac{d^3f}{dx^3}\frac{d^2x}{dt^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+4\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^3x}{dt^3}\frac{dx}{dt}+3\frac{d^2f}{dx^2}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2+\frac{df}{dx}\frac{d^4x}{dt^4},$
$\frac{d^5f}{dt^5}=\frac{d^5f}{dx^5}\left(\frac{dx}{dt}\right)^5+10\frac{d^4f}{dx^4}\frac{d^2x}{dt^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^3+10\frac{d^3f}{dx^3}\frac{d^3x}{dt^3}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+15\frac{d^3f}{dx^3}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2\frac{dx}{dt}+5\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^4x}{dt^4}\frac{dx}{dt}+10\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^3x}{dt^3}\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{df}{dx}\frac{d^5x}{dt^5},$
$\frac{d^6f}{dt^6}=\frac{d^6f}{dx^6}\left(\frac{dx}{dt}\right)^6+15\frac{d^5f}{dx^5}\frac{d^2x}{dt^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^4+20\frac{d^4f}{dx^4}\frac{d^3x}{dt^3}\left(\frac{dx}{dt}\right)^3+45\frac{d^4f}{dx^4}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{dt}\right)^2+15\frac{d^3f}{dx^3}\frac{d^4x}{dt^4}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+60\frac{d^3f}{dx^3}\frac{d^3x}{dt^3}\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{dt}+15\frac{d^3f}{dx^3}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^3+6\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^5x}{dt^5}\frac{dx}{dt}+15\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^4x}{dt^4}\frac{d^2x}{dt^2}+10\frac{d^2f}{dx^2}\left(\frac{d^3x}{dt^3}\right)^2+\frac{df}{dx}\frac{d^6x}{dt^6}...$

Никак не могу выявить общей закономерности.

Также хотелось бы найти $\frac{d^n\varphi}{dt^n}$ для $\varphi=\varphi\left(u,v\right),$ $u=u\left(t\right),$ $v=v\left(t\right).$

[Sonic86]

Где-то это уже было. И там где это было советовали посмотреть в Википедии - там это есть.

-- Чт фев 18, 2010 12:35:47 --

Вот оно: topic15001.html