сократить дробь

[f1z1]

нужно в общем сократить дробь

$$ \frac {1234567888...887654321} {1234567899....9987654321}$$

8 в записи числа повторяется 2000 раз
а 9 в записи второго 1999 раз

[ИСН]

$11111111\over 111111111$. Красиво.

[f1z1]

объясните, как?

[ИСН]

Ломом стукнул, она и открылась. Потом уже понял, что восьмёрок могло бы быть сколько угодно, лишь бы девяток было на одну меньше.

[f1z1]

ИСН в сообщении #289962 писал(а):

Ломом стукнул, она и открылась. Потом уже понял, что восьмёрок могло бы быть сколько угодно, лишь бы девяток было на одну меньше.

ну а можно алгоритм решения? думал сначала решать по признакам делимости, выяснилось что на 9 делится, но дальше не ушел, весь день голову ломаю

[ИСН]

Надо было каким-то образом догадаться, что они сокращаются на $1\underbrace{111......111}_{\text{много}}1$.

[f1z1]

мм можно еще подсказку? хочу решить сам, но не могу додуматься. и если можно посоветуйте что-нибудь почитать по этой теме

[Sasha2]

Ну Ваше число можно записать следующим образом:
Предполагаем, что числитель содержит $n$ восьмерок, а знаменатель $n-1$ девятку

$\frac{(765...1)+8(10^7+...+10^{n+6})+(12...7)10^{n+7}}{(876...1)+9(10^8+...+10^{n+6})+(12...8)10^{n+7}}$

Далее, поскольку $765...1=888...8-12...7$ и $876...1=999...9-12...8$

то данная дробь может быть записана так

$\frac{8(10^0+...+10^{n+6})+(12...7)(10^{n+7}-1)}{9(10^0+...+10^{n+6})+(12...8)(10^{n+7}-1)}$

Ну дальше уже наверно сами доделаете.

[ewert]

Просто должно бросаться в глаза, что, например,

  11111111...11111000 
+  1111111...11111100
+   111111...11111110
+    11111...11111111 
-------------------------
= 12344444...44444321

[f1z1]

ewert в сообщении #290050 писал(а):

Просто должно бросаться в глаза, что, например,

  11111111...11111000 
+  1111111...11111100
+   111111...11111110
+    11111...11111111 
-------------------------
= 12344444...44444321

Цитата:

$\frac{8(10^0+...+10^{n+6})+(12...7)(10^{n+7}-1)}{9(10^0+...+10^{n+6})+(12...8)(10^{n+7}-1)}$

Ну дальше уже наверно сами доделаете.

но как разделить сумму с многими слогаемыми на другую сумму?:roll:

[Sasha2]

Ну Вы прежде всего просуммируйте прогрессии в числителе и знаменетеле и сократите на $(10^{n+7}-1)$ и тот и другой, а дальше уже будет легче.

P.S. В конечном счете Вы придете, что в числителе будет $(12...8)-(12...7)$, а в знаменателе $(12...9)-(12...8)$

[ewert]

К чему прогрессии?... Продолжая предыдущий пример, видим: числитель -- это $11111...11111$ с чёрт-те-каким числом единиц, умноженное на $11111111$ (восемь единиц). А знаменатель -- умноженное уже на $111111111$ (девять единиц) ровно это же число, поскольку результат умножения ровно на один разряд длиннее.

[f1z1]

Sasha2 в сообщении #290196 писал(а):

Ну Вы прежде всего просуммируйте прогрессии в числителе и знаменетеле и сократите на $(10^{n+7}-1)$ и тот и другой, а дальше уже будет легче.

P.S. В конечном счете Вы придете, что в числителе будет $(12...8)-(12...7)$, а в знаменателе $(12...9)-(12...8)$

$\frac{8\frac{(10^{2008}-1)}{9(10^{2008}-1)}+(1234567)}{9\frac{(10^{2008}-1)}{9(10^{2008}-1)}+(12345678)}$

тут все получается, но не получается так как вы написали $(12...9)-(12...8)$, как придти к этому?

[Sasha2]

Вы не правильно написали. Не знаю опечатка у Вас или ошибка. Так вот, после того как Вы просуммируете прогрессии и сократите их, у Вас останется такая дробь:

$\frac{8+9(1234567)}{9+9(12345678)}$

Останется только учесть, что 9 - это 10-1 (Это для девяток, которые стоят СОМНОЖИТЕЛЯМИ, а первые восьмерка и девятка НЕ ТРОГАЮТСЯ)

[f1z1]

Sasha2 в сообщении #290264 писал(а):

Вы не правильно написали. Не знаю опечатка у Вас или ошибка. Так вот, после того как Вы просуммируете прогрессии и сократите их, у Вас останется такая дробь:

$\frac{8+9(1234567)}{9+9(12345678)}$

Останется только учесть, что 9 - это 10-1 (Это для девяток, которые стоят СОМНОЖИТЕЛЯМИ, а первые восьмерка и девятка НЕ ТРОГАЮТСЯ)

там вовсе нет ошибки, если все посчитать то получится как раз та дробь $11111111\over111111111$
а теперь есть вопрос. как доказать что эта дробь не сократимая?