Интересно, а можно ли решить такое функциональное уравнение?

[age]

$f(f(x))=e^x$

[ИСН]

Там плохо.

[ShMaxG]

Я не в теме, как решать функциональные уравнения, какие там теоремы и прочее. Но мне интересно следующее.

Рассмотрим функ.ур. $f(f(x))=a x^{n}$. Для него подходит решение в виде: $f(x)=m x^ k$, причем $m^{k+1}=a,\, k=\sqrt{n}$.
А теперь разложим экспоненту в ряд Тейлора, и для каждого слагаемого решим $f(f(x))=a x^{n}$. Получим набор функций. Остается их записать в тот же ряд, тогда получим как раз одно из решений исходного функ.ур.

Такое, или что-то подобное вообще возможно?

-- Ср фев 17, 2010 14:42:12 --

Тогда одно из решений этого функ.ур. будет что-то типа:
$\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^{\sqrt n }}}} {{n{!^{\frac{1} {{\sqrt n + 1}}}}}}} \]$.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #289808 писал(а):

Получим набор функций. Остается их записать в тот же ряд, тогда получим как раз одно из решений исходного функ.ур.

Т.е. Вы предлагаете $f(f(x))=f_0(f_0(x))+f_1(f_1(x))+f_2(f_2(x))+\ldots$, где $f(x)=f_0(x)+f_1(x)+f_2(x)+\ldots$ ?...

[ShMaxG]

ewert
Да. Но я только сейчас осознал ошибку.

[ИСН]

Несколько более развёрнуто скажу. Там можно кусок (от единицы до е, или что-то в этом роде) нарисовать от руки, как получится, а остальные восстановить по нему.
А если мы хотим, чтобы на стыках они сшивались гладко, то возникают - - -

[Legioner93]

Вот здесь это уже обсуждалось topic6787.html