Сходимость ряда в предположении расходимости другого ряда

[Lyubushca]

как доказать сходимость ряда a(1)/S(1)+a(2)/S(2)+..a(n)/S(n)-ln(S(n))
если a(1)+a(2)+...a(n) стремится к плюс бесконечности
последовательность a(n) ограничена и положительна при всех n


это обобщение того, что ряд 1+1/2+...+1/n-ln(n)


---
Называйте, пожалуйста, темы более информативно! (Было: "Помогите девушке!!!") (dm)

[Гость]

Lyubushca писал(а):

как доказать сходимость ряда a(1)/S(1)+a(2)/S(2)+..a(n)/S(n)-ln(S(n))
если a(1)+a(2)+...a(n) стремится к плюс бесконечности
последовательность a(n) ограничена и положительна при всех n


это обобщение того, что ряд 1+1/2+...+1/n-ln(n)

хм, не совсем понятна история с ln(n), он только из n-члена вычитается? По рядам неплохо написано у Демидовича в "Задачи и упражнения для матана", с 288 страницы. Если у тебя нет книги, то ты наверняка сможешь скачать её здесь из каталога...

[Гость]

Anonymous писал(а):

Lyubushca писал(а):

как доказать сходимость ряда a(1)/S(1)+a(2)/S(2)+..a(n)/S(n)-ln(S(n))
если a(1)+a(2)+...a(n) стремится к плюс бесконечности
последовательность a(n) ограничена и положительна при всех n


это обобщение того, что ряд 1+1/2+...+1/n-ln(n)

хм, не совсем понятна история с ln(n), он только из n-члена вычитается? По рядам неплохо написано у Демидовича в "Задачи и упражнения для матана", с 288 страницы. Если у тебя нет книги, то ты наверняка сможешь скачать её здесь из каталога...

http://lib.mexmat.ru/books/32

[маткиб]

Пусть x(n)=a(1)/S(1)+...+a(n)/S(n)-ln(S(n)),
b(1)=S(1), b(n)=S(n)/S(n-1) при n>=2.
Тогда S(n)=b(1)*...*b(n),
x(n)=y(1)+...+y(n), где
y(n)=a(n)/S(n)-ln(b(n)).
Пусть n>=2.
|y(n)| = |a(n)/S(n)-ln(1+a(n)/S(n-1))| <= |a(n)/S(n)-a(n)/S(n-1)|+|a(n)/S(n-1)-ln(1+a(n)/S(n-1))|.
Пусть первое слагаемое - z(n), а второе - t(n).
Из разложения Тэйлора следует, что t(n)=O((a(n)/S(n-1))^2). Следовательно, т.к. a(n) ограничена, а S(n) - нет, a(n)/S(n-1)->0 => начиная с некоторого n: t(n)<=C*(a(n)/S(n-1))^2.
z(n)=|a(n)^2/(S(n)*S(n-1))|<=(a(n)/S(n-1))^2 (т.к. S(n)>S(n-1)).
Таким образом, |y(n)|<=C*(a(n)/S(n-1))^2.
Пусть u(n)=C*a(n)^2/(S(n)*S(n-1)) <= C*(1/S(n-1)-1/S(n)) (a(n)^2<=C*a(n), константы C везде различны).
Тогда нетрудно заметить, что u(2)+...+u(n) <= C*(1/S(1)-1/S(n)) <= C/S(1) => ряд u(2)+u(3)+... сходится.
С другой стороны, lim(|y(n)|/u(n))=1 (потому что S(n) неограничена) => |y(2)|+|y(3)|+... тоже сходится (все ряды из положительных чисел => все хорошо) => x(n) сходится.

[маткиб]

Пока печатал, столько всего понапостить успели...