Численное решение задачи Неймана для ур-я Лапласа

[Jenny B.]

Здравствуйте уважаемые форумчане!
Прошу помочь в постановке задачи... для кого-то моя проблема покажется вовсе и не проблемой, но я из-за нее не могу пойти в решении дальше... Спасибо за внимание.
Итак, необходимо численно найти решение для внутренней задачи Неймана (трехмерной). U - искомый потенциал. W - магнитный потенциал индуцирующего поля.
Уравнение Лапласа:
$\Delta U = 0 $
Начальные условия заданы для производной искомой функции. Поверхность - параллелепипед.
$\frac{\partial U}{\partial n} = \frac{\partial W}{\partial n}$ на границе поверхности.
В свою очередь из теории поля: $\frac{\partial W}{\partial n} = (\overrightarrow{H},\overrightarrow{n}) $, где $\overrightarrow{H}$ = (0,0, 50000нТл), $\overrightarrow{n}$ - нормаль к поверхности.
Загвоздка у меня возникла в представлении начального условия в конечно-разностном виде...

-- Вт фев 16, 2010 17:37:39 --

Построим сетку:
$x_i = i*h_i, i = 0, 1, ... , N; h_i*N = a, 0 \le x_i \le a$
$y_j = j*h_j, j = 0, 1, ... , M; h_j*M = b, 0 \le y_j \le b$
$z_k = k*h_k, k = 0, 1, ... , K; h_k*K = c, 0 \le z_k \le c$
Пусть $U(x_i, y_j, z_k) = U_i^j^k$
Тогда уравнение Лапласа запишется:
$\frac {U_i_+_1^j^k-2U_i^j^k+U_i_-_1^j^k} {h_i^2}+\frac {U_i^j^+^1^k-2U_i^j^k+U_i^j^-^1^k} {h_j^2}+\frac {U_i^j^k^+^1-2U_i^j^k+U_i^j^k^-^1} {h_k^2} = 0$
для всех "внутренних" узлов сеточной функции U.
Что касается начального условия... то мне пока не ясно - какой же здесь шаблон конечно-разностной схемы???
Нач. условия в конечно-разностном виде:
$\frac {U_i_+_1^j^k-U_i_-_1^j^k} {2h_i}+\frac {U_i^j^+^1^k-U_i^j^-^1^k} {2h_j}+\frac {U_i^j^k^+^1-U_i^j^k^-^1} {2h_k} = 50kh_k$
А дальше что делать ?
Направьте пожалуйста с шаблоном...

[ewert]

Jenny B. в сообщении #289505 писал(а):

Нач. условия в конечно-разностном виде:
$\frac {U_i_+_1^j^k-U_i_-_1^j^k} {2h_i}+\frac {U_i^j^+^1^k-U_i^j^-^1^k} {2h_j}+\frac {U_i^j^k^+^1-U_i^j^k^-^1} {2h_k} = 50kh_k$

Во-первых, эти условия называются не начальными, а граничными.
Во-вторых: что это за мистические $50kh_k$?...
В-третьих, граничные условия следует ставить для каждой грани параллелепипеда отдельно (т.к. они будут иметь разный вид). И производная по нормали в каждом случае -- это частная производная (или минус она) по одной переменной.

Пока что реализуйте это, потом можно будет обсудить дальнейшие трудности.

--------------------------------
И, кстати, имейте в виду, что записи типа $x_i = i*h_i$ -- тоже неверны.

[Jenny B.]

Спасибо большое за ответ!

ewert в сообщении #289562 писал(а):

Во-первых, эти условия называются не начальными, а граничными.

Да... конечно граничные.
Мистические $50kh_k$ - это скалярное произведение $(0,0, 50000нТл) и вектора нормали (x, y, z)$, где $z = kh_k$ ну то есть просто обозначение...
И по записи $x_i=i*h_i$ здесь $h_i$-это шаг $h=\frac a N $ а индекс $h_i$ поставлен для различия обозначений шагов по $x, y, z...$

Производные по каждой грани параллелепипеда выписала, и получается (например):
если $z=0, y=0, 0 \le x \le a $

$\frac {U_i_+_1^0^0-U_i^0^0} {x_i_+_1 - x_i} = 0 $

если $x=0, y=0, 0 \le z \le c $

$\frac {U_0^0^k^+^1 - U_0^0^k} {z_k_+_1 - z_k} = 50000нТлz_k $
и так по каждой из 12-ти граней.

Формула для сеточной функции:

$U_i^j^k = \frac {h_j^2h_k^2(U_i_+_1^j^k+U_i_-_1^j^k)+ h_i^2h_k^2(U_i^j^+^1^k+U_i^j^-^1^k)+ h_i^2h_j^2(U_i^j^k^+^1+U_i^j^k^-^1)} {2h_i^2h_j_2h_k^2}$

но вот что дальше... или может я где-то не так что-то сделала...

[Jenny B.]

Не вижу возможности для правки своего сообщения... я выписала то только для ребер граничные условия... а не для граней. Прошу прощения. Выпишу для граней Думаю все станет намного ясней.