оператор замыкания

[BapuK]

$\varphi \to P$ -отображение
$\varphi$ - оператор замыкания $\Leftrightarrow \varphi(sup_P \{ x,y \})=sup_P \{\varphi(x),y\}$
небольшая проблемка с необходимостью:
обозначим $a = sup_P \{ x,y \}$, тогда $\varphi (a)\geqslant a \geqslant x,y$ и т.к. $\varphi$ - изотонное отображение, то $\varphi (a) \geqslant \varphi (x)$ и следовательно $\varphi (a) \geqslant sup_P \{\varphi(x),y\}$
и вот тут не придумывается, как показать, что $sup_P \{\varphi(x),y\} \geqslant \varphi (a)$

[BapuK]

мыслей ни у кого нет? а то уже 3ий день бьюсь, вроде легко должно доказываться, но что-то е получается

[AGu]

Если термин «оператор замыкания» понимается традиционно,
то сформулированная эквивалентность недоказуема,
так как, например, из правой части следует, что
в случае $\varphi(x)\leqslant y$ всегда будет $\varphi(y)=y$,
т.е. «любое надмножество замкнутого множества замкнуто».

[BapuK]

Получается, что можно доказать, только такое утверждение:
Если $\varphi : P \to P$ - отображение и $\varphi(sup\{x,y\})=sup\{\varphi (x), y\}\ \forall x,y \in P$, то $\varphi$ - оператор замыкания

[AGu]

BapuK в сообщении #290396 писал(а):

Получается, что можно доказать, только такое утверждение:
Если $\varphi : P \to P$ - отображение и $\varphi(sup\{x,y\})=sup\{\varphi (x), y\}\ \forall x,y \in P$, то $\varphi$ - оператор замыкания

Ага, получается, что так.