Ляпунова функция (нужен алгоритм)

[Nitrinka]

Есть пару системок вида

$x'= -2y-x^3$
$y'=3x-4y^3$


Нужно исследовать их на устойчивость с помощью функции Ляпунова, подскажите пожалуйста общий алгоритм решения?

[Руст]

Исследуется на устойчивость некоторое решение. Когда не говорится явно, то подразумевают стационарное решение, когда производные нули из системы получаете стационарные решения. Далее разлагая решение как добавка к стационарному и оставляя только линейные члены приходите к исследованию линейного однородного дифференциального уравнения. Если все характеристические числа имеют отрицательную действительную часть система будет устойчивой.

[Nitrinka]

А где функция ляпунова используется?

[Brukvalub]

Можно попробовать подобрать для системы $\frac{{dx}} {{dt}} = f(x,t)$
такую функцию v(x), чтобы v(о)=0 , v(x)>0 при остальных х и $\frac{{dv}} {{dt}} = \frac{{\partial v}} {{\partial t}} + \frac{{\partial v}} {{\partial x_1 }} \cdot f_1 + ... + \frac{{\partial v}} {{\partial x_n }} \cdot f_n \leqslant 0$
, тогда нулевое решение системы будет устойчивым. А подобранная функция v(x) и называется функцией Ляпунова. Основная трудность такого метода состоитименно в подборе этой функции. Иногда функцией Ляпунова системы является квадрат расстояния от точки х до положения равновесия системы (это выясняется проверкой) . Простых регулярных методов выбора v(x) мне не известно.

[Nitrinka]

Кхм, что-то не подбирается... ерунда получается, помогите а? или подтолкните к решению. Очень буду благодарна

[Brukvalub]

В том-то и дело, что нет простых алгоритмов подбора функции Ляпунова. Именно поэтому Руст предлагал Вам исследовать Вашу систему на устойчивость вблизи положения равновесия по первому приближению.Дело в том, что
1) Устойчивость систем с линейной правой частью исследовать проще-все сводится к сравнению вещественных частей собственных значений матрицы в правой части системы с нулем.
2) Если разложить правую часть нелинейной системы вблизи нуля в сумму линейного слагаемого и бесконечно малой порядка выше , чем приращение независимой переменной (например, пользуясь ф-лой Тейлора), то есть теорема, утверждающая, что, при отрицательности вещественных частей собственных значений матрицы линейной компоненты в правой части системы, нулевое решение будет асимптотически устойчиво (о чем Вам уже писал Руст).
Так что попробуйте реализовать этот алгоритм- он общепринят и также считается изучением устойчивости по Ляпунову-просто функция Ляпунова спрятана в нем внутри, и снаружи ее сразу не разглядеть.

[V.V.]

Один из способов подбора - выбрать простую положительно определенную функцию (например, квадратичную) и посмотреть на ее производную в силу системы.

Здесь подходит $H=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}$

[zoo]

Nitrinka писал(а):

Есть пару системок вида

x'= -2y-x^3
y'=3x-4y^3


Нужно исследовать их на устойчивость с помощью функции Ляпунова, подскажите пожалуйста общий алгоритм решения?

нет общего алгоритма нахождения функций Ляпунова

Руст в сообщении #23326 писал(а):

Исследуется на устойчивость некоторое решение. Когда не говорится явно, то подразумевают стационарное решение, когда производные нули из системы получаете стационарные решения. Далее разлагая решение как добавка к стационарному и оставляя только линейные члены приходите к исследованию линейного однородного дифференциального уравнения. Если все характеристические числа имеют отрицательную действительную часть система будет устойчивой.

это как раз тот метод, который в данном случае неприменим