Решение уравнения

[Dmitry]

При решении задачи Штурма - Лиувилля, собственное значение $\lambda$
получилось в виде вот такого уравнения:

$\lambda=\frac{-1-cos\lambda x}{sin\lambda x}$

Нужно найти значение параметра $\lambda$.
Тригонометрические преобразования ни к чему не привели, и избавление от знаменателя тоже.
Был бы очень признателен за подсказку в какую сторону плыть. А то школьная программа забыта напрочь.
Спасибо.

[Padawan]

Посмотрите при каком $\lambda$ функции $\lambda\sin\lambda x$ и $-1-\cos\lambda x$ могут совпадать, разложив их в ряд Тейлора-Маклорена.

[Dmitry]

Если я всё правильно сделал (насчет этого у меня сомнения), то таких совпадений нет.

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $

$-1-\cos x =-2 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $

И как мне кажется, решение должно быть проще, но как - не понимаю

[fer1800]

Dmitry в сообщении #287649 писал(а):

При решении задачи Штурма - Лиувилля, собственное значение $\lambda$
получилось в виде вот такого уравнения:

$\lambda=\frac{-1-cos\lambda x}{sin\lambda x}$

Нужно найти значение параметра $\lambda$.
Тригонометрические преобразования ни к чему не привели, и избавление от знаменателя тоже.
Был бы очень признателен за подсказку в какую сторону плыть. А то школьная программа забыта напрочь.
Спасибо.

Предположим $\lambda=0$

-- Сб фев 13, 2010 23:00:48 --

fer1800 в сообщении #287678 писал(а):

Dmitry в сообщении #287649 писал(а):

При решении задачи Штурма - Лиувилля, собственное значение $\lambda$
получилось в виде вот такого уравнения:

$\lambda=\frac{-1-cos\lambda x}{sin\lambda x}$

Нужно найти значение параметра $\lambda$.
Тригонометрические преобразования ни к чему не привели, и избавление от знаменателя тоже.
Был бы очень признателен за подсказку в какую сторону плыть. А то школьная программа забыта напрочь.
Спасибо.

Предположим $\lambda=0$

Я сейчас возможно чушь скажу, но равенство $\lambda sin{\lambda x}+1+cos\lambda x=0$ должно выполняться при любом x (т.е. оно тождественно нулю вдоль направления x).
Поэтому продифференцируем его по x.
Получим:
$\lambda^2 cos{\lambda x}=\lambda sin{\lambda x}$

[Dmitry]

А все равно получится:

$\lambda = \tg\lambda x$

Замкнутый круг.

[mihiv]

Преобразуйте уравнение к виду $\ctg\frac {\lambda x}2 =-\lambda $Решить можно только численно,но графически легко решить приближенно,причем понятно,что для $n\to \infty ,\lambda _n\to \frac {2n\pi }x$

[ShMaxG]

Между прочим, если исходное равенство действительно должно выполняться при любых исках, то уравнение $\lambda = \tg {\lambda x}$ тоже должно выполняться при любых иксах. Но это выполнено лишь для $\lambda = 0$, что не подходит.

-- Сб фев 13, 2010 22:45:58 --

Dmitry
А может вы исходную задачу выложите?

[Dmitry]

Господа, перепутал обозначения. Вместо $x$ должно быть $b$. Но сути это не меняет.

Исходная задача:

$y''+\lambda^2y=0$

Граничные условия:

$y'(0)=0$; $y'(b)=y(0)+y(b)$

Преподаватель говорит, что сама собственная функция найдена верно, но вот значение надо вывести.

[ИСН]

Вы их вывели. Проще не будет.

[Padawan]

Dmitry в сообщении #287698 писал(а):

Господа, перепутал обозначения. Вместо $x$ должно быть $b$. Но сути это не меняет

Как это не меняет. Очень даже меняет - ведь теперь получаем просто уравнение, а не тождественно совпадение функций.

Решайте численно.

[Dmitry]

Начал преобразовывать, получил:

$\lambda=\frac{2sin^2 \frac{\lambda b} {2}}{2sin \frac{\lambda b} {2} cos \frac{\lambda b}{2}}$

Далее:

$\lambda=tg{\frac {\lambda b} {2}}$

Строим графики (ордината - $y$; абсцисса - \lambda)
$y_1=\lambda$;$y_2=tg{\frac {\lambda b} {2}}$

В точках пересечения двух графиков и будет искомое решение.
Верно?